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標本分布 ひょうほんぶんぷsampling distribution

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

標本分布
ひょうほんぶんぷ
sampling distribution

無作為抽出を無限回にわたって繰返したときに,標本平均のような統計量が示す度数分布を,その統計量の標本分布という。社会調査に応用される標本調査法にとっては,特に次の2つの定理が重要である。(1) 平均の標本分布 母平均m,母標準偏差が σ,大きさが M の有限正規母集団から,大きさ N の無作為標本を抽出するとすれば,標本平均 の標本分布は平均が m,標準偏差が の正規分布を示す。(2) 比率の標本分布 大きさ M の有限母集団において,ある標識をもっている比率が P のとき,この母集団から大きさ N の無作為標本を抽出するとすれば,標本比率 p の標本分布は平均 P,標準偏差 正規分布を示す。

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世界大百科事典 第2版の解説

ひょうほんぶんぷ【標本分布 sampling distribution】

数理統計学において,統計量の分布をいう。有限個の要素を含むある集合が与えられたとき,この集合から1個の要素を無作為に選び出し,その要素のある特性量ξの値を観測しそれを再びもとの集合にもどす。この実験では,どの要素が選ばれる可能性もすべて等しくなる(これを無作為という)ようにくふうされているものとする。与えられた集合のことを母集団といい,その要素のことを個体という。上の実験をn回繰り返すとき観測される1組の個体を母集団からの無作為標本という。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

標本分布
ひょうほんぶんぷ

統計的推測を行う場合、母集団から大きさnの任意標本をとり、たとえばその標本の相加平均など、標本のある関数を考え、これがどのような確率分布をもつかが問題となることが多い。すなわち、n個の確率変数X1、X2、……、Xnが独立で、各Xiは同一の確率分布をもつとし、F(x1,……,xn)を与えられたn変数の関数として、確率変数Y=F(X1,……,Xn)の確率分布を決定することが問題となる。Yの分布のことを標本分布という。
 以下では、X1、……、Xnは独立で、各Xiの分布は正規分布であると仮定する。
(1)Xiがすべて同一の正規分布N(m,σ2)をもてば

の分布は正規分布N(m,σ2/n)である。
(2)Xiがすべて同一の正規分布N(0,1)をもてば
  Y=X12+X22+……+Xn2
の確率密度をkn(x)とすると

である。ただしΓ(x)はガンマ関数を表す。このkn(x)を確率密度とする確率分布を自由度nのχ2(カイ二乗)分布という。
(3)Xiがすべて同一の正規分布N(m,σ2)をもてば

の両者は独立で、(n/σ2)S2の分布は自由度(n-1)のχ2分布である。
(4)X、Ynが独立で、Xが正規分布N(0,1)、Yが自由度nのχ2分布をもつならば

の確率密度は

である。このZnの分布を自由度nのt分布という。
(5)Xm、Ynが独立で、それぞれ自由度m、nのχ2分布をもつならば

の確率密度fmn(x)は

である。このZの確率分布を自由度m、nのF分布という。[古屋 茂]

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世界大百科事典内の標本分布の言及

【フィッシャー】より

…第1は統計的推測とくに推定(統計的推定)の基礎理論の建設で,最尤(さいゆう)推定法の導入とその大標本のもとでの有効性の証明,推定量の効率の尺度としての情報量の定義,推測確率の概念の導入などがある。第2は統計量の標本分布に関連し,処女論文における相関係数の精密標本分布の導出をはじめ,偏相関係数,Z分布,分散共分散行列の固有根の分布などを求めた。第3は統計的実験計画法の創出で,ロザムステッドにおける経験にもとづき,実験誤差を含む条件のもとでの実験の計画およびデータの解析法を確立した。…

※「標本分布」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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