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確率過程 かくりつかていstochastic process

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

確率過程
かくりつかてい
stochastic process

変量の時間変化が偶然に支配され,ある確率に従って起る過程。このような変量 X を確率変数といい,時刻 t におけるその観測値を X(t) とするとき,確率過程は観測時刻 t の集合 T における X(t) の集合 {X(t)|tT} で定義される。

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デジタル大辞泉の解説

かくりつ‐かてい〔‐クワテイ〕【確率過程】

時間の経過とともにランダムに変化する事象を、確率変数を用いて数学的に記述したもの。ブラウン運動を数学的にモデル化したウィーナー過程をはじめ、株価・為替相場、道路の交通量、都市の人口、感染症の流行など、多様な現象を表現する数理モデルとして利用される。

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世界大百科事典 第2版の解説

かくりつかてい【確率過程 stochastic process】

時間の経過とともに変化する偶然現象の数学的模型である。偶然量の時刻tにおける値を確率変数としてXt(ω)(ωは根元事象)で表し,その集り{Xt(ω)}を確率過程という。統計学ではこれを時系列ともいう。ωを固定すると,Xt(ω)はtだけの関数になるが,これを見本関数とか標本関数などという。 例1 硬貨を次々と投げて,表が出たら1だけ右に進み,裏なら1だけ左に進む直線上の不規則運動をランダムウォークという。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

確率過程
かくりつかてい

円の交換レート、ある地区における降雨量、通信工学における雑音現象、ブラウン運動などは、時の経過に伴って偶然性をもって変動する現象である。このような現象の数学的モデル確率過程である。数学的にいえば、実数tをパラメーターとする確率変数族{Xt}を確率過程という。ここでtを固定すればXtは確率変数であるが、Xtの標本空間Ωはtに無関係で一定のものである。XtはtとΩの元ωの関数であるから
  Xt=X(t,ω)
と表される。Ωの元ωを固定するとX(t,ω)はtの関数となるが、この関数を標本関数または道とよぶ。
 任意に有限個の実数t1、t2、……、tnを選んで、k次元確率変数(Xt1,Xt2,……,Xtk)を考え、このk次元確率変数の確率分布を確率過程{Xt}の有限次元分布という。確率過程はその有限次元分布の性質によって、加法過程、マルコフ過程、定常過程などに分けられる。区間I=(a,b)に対して確率変数XI
  XI=Xb-Xa
と定める。互いに重なり合うことのない区間
  I,J,……,K
に対して、確率変数
  XI,XJ,……,XK
が独立であるとき、確率過程{Xt}を加法過程という。
 加法過程において、標本関数がtの連続関数であるようなω全体の確率が1であるとき、確率変数Xt-Xs(t>s)の確率分布は正規分布となる。このような確率過程を正規加法過程という。ここでとくにXt-Xsの平均値が0で、分散がt-sであるとき、この確率過程をウィーナー過程またはウィーナーのブラウン運動という。また、標本関数が高さ1の飛躍で増加するような階段関数であるようなω全体の確率が1であるとき、確率変数Xt-Xsの確率分布はポアソン分布である。このような確率過程をポアソン過程という。
 次に、時間とともに変化する偶然的現象において、時刻sにおける状態がわかっているとき、時刻t(t>s)における状態が、時刻sにおける状態だけで決まり、s以前の状態には無関係なことがある。このような性質をもつ確率過程をマルコフ過程という。詳しくいえば、{Xt}を確率過程とするとき、
  s1<s2<……<sn<t
としてXs1、Xs2、……、Xsn、Xtの値を与えたときのXtの条件つき確率法則が、Xsnの値だけを与えたときのXtの条件つき確率法則に等しいとき、すなわち
  P(Xt(ω)∈A|Xs1=xs1,……,Xsn=xsn)
  =P(Xt(ω)∈A|Xsn=xsn)
が成り立つとき{Xt}をマルコフ過程という。
 マルコフ過程の確率法則はs≦tとしてXs=xのときのXtの条件つき確率F(s,x;t,A)によって決定される。この確率を遷移確率という。[古屋 茂]
『伊藤清著『現代数学14 確率論』(1953・岩波書店)』

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世界大百科事典内の確率過程の言及

【数理統計学】より

…また,母集団がいくつかの層に分かれているとき,適当なウェイト(重み)で標本の層別抽出を行うことは正確さを増すうえで重要なことである。
[時系列の解析]
 時間とともに変化する偶然現象を時系列,または確率過程という。例えば気温は季節的な変動のほかに偶然に支配されて刻々と変動している。…

【非線形力学】より

…元来,方程式(1)または(2)ではある時刻における変数xの値が与えられたとき,それ以後の時刻でのxは一義的に定まるはずで,〈決定論的力学〉と呼ばれるものである。これに対し,実在するランダム力(ノイズ)によって駆動される力学系で軌道が確率的にしか定められないものもあり,〈確率過程〉と呼ばれているが,カオスの現象は決定論的力学の中にあたかも外見上確率過程と同じ様相を呈するものがあるということを意味し,自然法則の決定性と蓋然性との橋渡しをしているという意味で,現代非線形力学の一つの中心課題となっている。図5-bに見られるヘノン=ハイレス系のポアンカレ写像の不規則点は保存力学系カオスの典型例である。…

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