偶然に支配されていろいろな値をとる変数Xがあるとき,それが平均してどの程度の値をとるかを示す量で,Xの平均値とも呼ばれ,E(X)とかく。例えば1万本のくじの中で,当りくじは,賞金10万円の1等が5本,1万円の2等が20本,1000円の3等が300本で残りはからくじであるとする。このとき1本のくじを引く人は,どれだけの金額を期待するのが妥当であろうかを次のように考える。賞金の総計は100000×5+10000×20+1000×300=1000000円であり,総計1万本のくじがあるのだから1本当り平均100円が期待できる。これを,1,2,3等が当たる確率5/10000,2/1000,3/100とそれぞれの賞金との積の総和と考えて期待値とする。一般に,Xのとる値がx1,x2,……で,その値をとる確率がそれぞれp1,p2,……のとき,x1p1+x2p2+……=E(X)として期待値を求めることができる。Xが連続的な値をとるときは,その分布の密度関数をp(x)とかくと,である。
執筆者:飛田 武幸
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確率現象の結果が数値で表されている場合、1回の試行の結果期待される数値の大きさを期待値という。たとえば、10000枚のくじのうち、1等10万円、2等1万円、3等1000円の当りくじがそれぞれ2枚、10枚、100枚含まれている。このくじを1枚引いた人はどれだけの金額が期待されるかを考えてみる。1等、2等、3等に当たるのはそれぞれ2/104、10/104、102/104の割合であるから
すなわち、40円が期待される金額と考えることができる。実際に受け取るのは10万円か1万円か1000円かまたは0円の四つの場合だけであって、40円受け取るということは現実にはありえない。ここで期待される金額が40円というのは、このくじを引くことを多数回繰り返すとすると、1回当りの平均(相加平均)が約40円であることを意味している。
一般に確率変数Xがa1, a2,……, akという値をそれぞれp1, p2,……, pk(p1+p2+……+pk=1)という確率でとるものとする(前記のくじの場合はk=4で
である)。このときXの期待値はa1p1+……+akpkと定義する。すなわち確率変数の平均値のことを期待値ということもある。
[古屋 茂]
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…そのため一つの数値で分布の特性量を表すことができれば好つごうである。重要な特性量としては,平均値(期待値ともいう)と分散がある。離散形の場合なら平均値mは, で,分散σ2は, で与えられる。…
※「期待値」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
出典|株式会社平凡社「世界大百科事典(旧版)」
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