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ぐんgroup

翻訳|group

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説


ぐん
group

群は,変換群を代数的構造として論じるため生まれた。それは次の諸条件を満たす集合 G のことである。 G は空でない集合で,G の任意の2元 xy (順序をつけて考える) に対して,これらの結合といわれる第3の元 zG を対応させる対応の規則 (これを G の上の演算という) が与えられている。 xy の結合を xy と書き,これを xy の積という。すなわち zxy である。そして G 上の演算は,次の3条件を満たしている。 (1) G の任意の元 abc に対して,a(bc)=(ab)c が成り立つ (結合法則) 。 (2) G のすべての元 x に対して,exx をみたす G の元 e がただ1つ存在する。 (3) G のおのおのの元 x に対して,xx'=e となる G の元 x' がただ1つずつ存在する。元 eG の単位元,元 x' を G の逆元という。 x' は普通 x-1 と書く。 G の任意の元 xy について xyyx が成り立つとき,G をアーベル群または変換群という。この場合は xy の代りに加法の形 xy で書くことが多い。 xy の結合が xy で表わされるときは,加群またはモジュールと呼び,単位元を0,逆元を -x と書く。群に含まれる元の個数を群の位数,位数が有限か無限かによって,有限群あるいは無限群という。群の例としては,次のようなものがある。 (1) 整数全体の集合は加法について群をつくる。 (2) 実数全体の集合は加法について群をつくる。 (3) 0でない実数全体の乗法について群をつくる。 (4) n 次元ベクトルの全体は,加法について群をつくる。 (5) 行列式の値が0でない n 次の正方行列全体の集合は乗法について群をつくる。 (6) 相異なる n 個の順列の間の置換全体の集合は乗法に関して群をつくる。素朴な群の概念は,対称図形の考案に関連して古代からあり,近年の精密な理論は高次方程式の根の置換の研究から起ったが,現今では最も基本的な代数的構造の一つとみなされ,数学のあらゆる分野に広く応用されている。

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知恵蔵の解説

19世紀前半、ガロア(E.Galois)が発見した概念。足し算掛け算の体系を公理化したもの。整数全体を考え、足し算を例にとると、(1)(a+b)+c=a+(b+c)(結合法則)が成り立ち、(2)零元0が存在し、(3)整数aに対して-aが存在する。この3つの性質を抽出して抽象化した代数系が群(ぐん)。群は対称性と関係があり、ルービックキューブの解法も群の理論によって構成できる。また、正多角形、正n面体は、群の存在と関係している。物理学では量子力学素粒子論、化学では結晶構造や分子構造の解析にも、群の理論が応用されている。

(桂利行 東京大学大学院教授 / 2007年)

出典 (株)朝日新聞出版発行「知恵蔵」知恵蔵について 情報

デジタル大辞泉の解説

ぐん【群】

群がること。集団。「をなす」
抽象代数学で、集合Gの元a, b, cの間に一つの演算方法*が規定されていて、元がその演算方法に関して次の条件を満たすとき、Gを群という。
(1) abはGに属する。
(2) (ab)*ca*(bc)が成り立つ。
(3) aeeaaとなる単位元eが存在する。
(4) aa-1a-1aeとなる逆元a-1が存在する。

ぐん【群】[漢字項目]

[音]グン(呉) [訓]むれる むれ むら
学習漢字]5年
〈グン〉
多くのものが集まる。多くの。「群居群衆群集群臣群生群像群雄群狼(ぐんろう)
同類の集まり。むれ。「一群魚群語群大群抜群
〈むら〉「群雀(むらすずめ)群千鳥
[補説]「羣」は異体字。
[名のり]とも・もと

むら【群/×叢/×簇】

むらがっていること。また、そのもの。むれ。多く、他の名詞に付けて用いる。「―すずめ」「草―」

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世界大百科事典 第2版の解説

ぐん【群 group】

正の数全体の集合Pを考えてみると,これらは次の4条件を満たしている。(1)a,bPの元であれば,その積a×bが定まって,a×bPの元である。(2)結合法則,すなわち(a×bca×(b×c)が成り立つ。(3)1×aa×1=a(単位元1が存在する)。(4)a×a-1a-1×a=1(逆元a-1が存在する)。 一般に,数の乗法に限らず,ある集合Gに一つの演算(数の加法,写像の合成など)が定義されていて,それが上のような4条件を満たしているとき,Gは群であるという。

出典 株式会社日立ソリューションズ・クリエイト世界大百科事典 第2版について 情報

大辞林 第三版の解説

ぐん【群】

多くの同類のものが集まっていること。むれ。むらがり。集まり。
〘数〙 〔group〕 一つの集合において、その、元(要素)の間に算法、例えば乗法が定められ、 (1) 二つの元 a , b の積 a b もその集合の元である (2) 結合法則(a b )・c a ・(b c )が成り立つ (3) すべての元 a に対して a e e a a となる e (単位元)が存在する (4) 各元 a に対して a x x a e となる元 x a -1(逆元)が存在する、という四つの条件が満たされている時、この集合はその算法に関して群であるという。特に交換法則 a b b a が成り立つ群をアーベル群または可換群という。群の考えはフランスのガロアなどにより導入され、現代数学の大きな基礎となっている。
[句項目] 群を抜く

出典 三省堂大辞林 第三版について 情報

日本大百科全書(ニッポニカ)の解説


ぐん
group

抽象代数学の概念の一つ。単に数の演算にとどまらず、写像の合成、置換の合成、行列の演算、回転変換の合成など、ある種の操作において閉じている体系が至る所でみいだされる。集合におけるある一つの演算にのみ注目して、他のすべての性質を捨象するとき、群の概念に到達する。最初、ガロアによって方程式の問題を解の間の置換のなす群の問題に転換することで導入された群の概念は、急速に発達して、現代代数学の基本概念となっている。[足立恒雄]

群の定義

Gを集合とし、Gには(いま注目している)一つの演算が与えられているとする。元a、bの間の演算の結果をa*bと表すことにする(簡単のため、abのように*を略すこともある)。次の四つの性質が成り立つとき、Gは*なる演算のもとで群をなすという。
(1)Gは演算*で閉じている。すなわち、任意の2元a、bに対してa*b∈G
(2)Gの任意の2元a、bに対して
  a*(b*c)=(a*b)*c  (結合法則)
(3)Gには単位元とよばれる特別な元eが存在して、Gの任意の元aに対して
  e*a=a*e=a
(4)Gの任意の元aに対してaの逆元とよばれる元bが存在して
  a*b=b*a=e
 (3)に述べた単位元はただ一つしか存在しないことが証明される。また逆元も各aに対してただ一つしか存在しない。そこでこれをa-1と記す。とくに
  a*b=b*a  (可換法則)
がGの任意の2元a、bに対して成り立つとき、Gは可換群またはアーベル群とよばれる。群Gの空でない部分集合HがGと同じ演算で群をなすとき、HはGの部分群であるといわれる。[足立恒雄]

群の例

(1)置換群 Mを数字1、2、……、nのなす集合とする。Mの置換とはMからMの上への写像のことである。あるいは1、2、……、nの順列と考えてもよい。Mの置換の全体をSnと記す。Snは写像の合成を積と考えるとき、群をなす。これをn文字の対称群という。Snの部分群を置換群という。
(2)一次変換群 実数体や複素数体などの可換体をKとする。Kの元を成分とする正則なn次正方行列の全体は乗法で群をなす。これを体K上のn次の一般一次変換群といってGL(n, K)で表す。とくに行列式が1のものばかりの集合をSL(n, K)とすると、これはGL(n, K)の部分群をなす。SL(n, K)は特殊一次変換群といわれる。
(3)合同変換群 三次元のユークリッド空間をR3とする。R3からR3の上への1対1の写像であって、2点間の距離を変えないものを合同変換という。合同変換の全体は合同変換群とよばれる群をつくる。とくに、回転軸が定点Oを通るような二つの回転の積は、またOを通る直線を回転軸とする回転である。定点Oを動かさない回転の全体のなす群を、Oを中心とする回転群という。回転群は合同変換群の部分群である。
 さらに、定点Oを中心とする特定の正多面体を考え、それを合同な位置にもたらすような回転の全体は回転群の部分群をなす。これらを多面体群と総称する。正多面体が正四面体、正八面体、正二十面体であるに従って、それぞれ正四面体群、正八面体群、正二十面体群という。[足立恒雄]

商群

Nを群Gの部分群とする。Gの任意の元xに対して
  xN=Nx
を満たすとき、NはGの正規部分群であるといわれる。ただし
  xN={xy|y∈N},
  Nx={yx|y∈N}
である。G/NでもってxN(xはGの元)の形の集合の集合を表すことにする。
  G/N={xN|x∈G}
G/Nの2元xNとyNの間で
  (xN)・(yN)=xyN
と演算を定義する。Nが正規部分群であることによってG/Nはこの演算の定義により群をなす。G/NはGのNによる剰余類群とか商群とよばれる。
 たとえばZを整数のなす加法群とする。Mでもって一つの整数mの倍数全体のなすZの部分群とする。アーベル群においてはすべての部分群が正規である。したがってZのMによる剰余類群がつくられる。これはいわゆる法mでの剰余類の考え方である。[足立恒雄]

単純群

群GがG自身と単位元eだけからなる部分群{e}以外には正規部分群をもたないとき、単純であるといわれる。有限単純群の分類の研究は近時盛んに行われ、日本の学者も大いに貢献した。[足立恒雄]

生成系

Sを群Gの部分集合とする。Sを含むGの最小の部分群がG自身となるときSはGの生成系である、といわれる。G自身Gの生成系である。ただ一つの元からなる生成系をもつとき、群は巡回群であるといわれる。Zは1から生成される巡回群である。またωを1の虚数の3乗根とするとき、
  G={1,ω,ω2
は巡回群で、ωがGの生成元である。[足立恒雄]

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世界大百科事典内のの言及

【周期表】より

…どちらの型の表でも,原子番号1の水素Hから103のローレンシウムLrまで,あるいは104や,最近報告されている105以上の数個の元素をも含めて,あらゆる元素を原子番号の順序に階段状に配列し,原子の構造,元素の性質のよく似たものどうしが上下に重なり合うように巧みに構成してある。表の縦方向に重なり合う元素群は同じ族group,横方向にならぶ元素群は同じ周期periodに属するという。族には表の左端からIA,IIA,IIIA,……,VIIA,VIII,IB,IIB,……,VIIB,0の諸族があり,またIIIA族の下部にはランタノイドおよびアクチノイドと総称される諸元素が相次いで現れる。…

【集団】より

…ある目標をもち,それを達成するために相互に活動しあい,共属していると感じている複数の人々の結合を集団あるいは社会集団という。ビジネスや教育のための集団のように,目標が明確に限定されている場合もあるし,友人の集団のようにいっしょにいること自体が暗黙の目標になるという場合もある。人々の相互作用が定期に組織的に行われる場合もあるし,そうでない場合もある。共属の感情が強くて一体感や〈われわれ意識〉(we‐feeling,成員が自覚的に集団それ自体を一つの主体として意識するところに生ずる共通の感覚)をもつ集団もあるし,それが弱い集団もある。…

【族】より

…化学用語。周期表中,縦の列に並ぶ元素をまとめて元素の族という。同じ族に属する元素は同族元素と呼び,番号または名称をつけて表す。すなわち長周期型周期表では,最外殻の原子価電子の配置が同じタイプの元素がくりかえし出現して縦に並ぶように配列されている。したがって縦の列に並ぶ元素は化学的性質,化合物の形,原子価などが比較的よく似たものが集まることになる。ただし歴史的には,逆に元素の分類から周期表が作られたので,その族としての分類は,短周期型でI族からVIII族まで,および0族とし,それをさらにA,Bの亜族で分けるのが普通に用いられている。…

【群れ】より

…動物の集合を表す一般用語で,日本語では動物種によらずこの語を用いてとくに違和感を感じないが,英語では,遊泳中の魚群などにはschoolをあて,鳥類の群れにはflockを,有蹄類の群れにはherdを,オオカミの群れにはpackを,ライオンなどの群れにはprideを,クジラやアザラシなどの小さな群れにはpodを,またサルなどの組織化された群れにはgroupを,その比較的サイズの大きいものにはtroopをあてる。これらの群れには,その構成員が定まっているものと,同種の個体あるいは同種で同年齢の個体,あるいは同じ性の個体であれば自由に入れ換えが可能なものとがある。…

※「群」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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