最小二乗法（読み）さいしょうじじょうほう

ASCII.jpデジタル用語辞典

最小二乗法

予測値に基づくy=ax+bの直線上の値と、実際の値との差の2乗和が最小となるような回帰直線を求める方法。ある誤差をともなうような2つの変量x、yがあるとき、回帰直線をy=ax+bとすると、b=Σ（xの偏差）（yの偏差）/Σ（xの偏差）2、a=yの平均-b（xの平均）になる。

出典　ASCII.jpデジタル用語辞典

百科事典マイペディア

最小二乗法【さいしょうにじょうほう】

多くの測定値から最も確からしい値を求める一方法。両者の差の２乗の和が最小になるよう推定値を定める。これによりn個の測定値から得られる最も確からしい値はそれらの相加平均（測定値の精度に差があれば重みつき平均）となる。一般には測定値から適当な２乗和をつくりそれを最小にする。量の間の関係式（実験式）を推定するのにも使う。
→関連項目ルジャンドル

出典　株式会社平凡社

栄養・生化学辞典

最小二乗法

　二つの因子間に関数関係がある場合，すべての実測値と理論値の差の二乗を最小にするように関数関係を仮定すること．

出典　朝倉書店

世界大百科事典 第２版

さいしょうにじょうほう【最小二乗法 least square method】

19世紀の初め，C.F.ガウスが天体の運動理論を展開するにあたって，多くの観測結果にもっともよく一致するよう軌道を決定するために開拓された方法であって，応用範囲も広く，誤差論と一対をなしている。　ある未知量を測定するのに，十分注意を払っても偶発的な誤差を免れない。最小二乗法はこのような誤差を含む多くの測定値から真の値を有効に推定する統計的手法で，正規分布(ガウス分布)に基礎をおいている。ガウスの理論はこの分布の特徴づけから始まる。

出典　株式会社平凡社

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

最小二乗法
さいしょうじじょうほう
method of least squares

誤差を伴う測定値の処理法の1つで，ある量の最も確かな測定値とか，測定値を基にして2つ以上の諸量の間に成り立つ関係式 (実験式) を求めるのに用いられる。ある量 x について n 回の測定を行なって x_i を得た場合，各測定値の重みを w_i として，w₁(x₁－a)²＋w₂(x₂－a)²＋…＋w_n(x_n－a)² を最小とする a を求めて x の最も確からしい値とする。またある関係にあると考えられる2つの量 x と y を測定して，互いに対応するそれぞれの測定値 (x₁，y₁) ，(x₂，y₂) ，などが xy 平面で直線 y＝a＋bx のまわりにある場合，(y₁－a－bx₁)²＋(y₂－a－bx₂)²＋…＋(y_n－a－bx_n)² を最小にする a および b の値を求める。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

日本大百科全書(ニッポニカ)

最小二乗法
さいしょうじじょうほう

二乗和を最小にする方法。もっとも簡単な例は、x₁, x₂,……, x_nが与えられたとき

を最小にするようにθを定める問題で、この場合には

のときf(θ)が最小になる。

　次の例は回帰直線である。二つの変量X、Yについての測定結果を
　　(x₁, y₂), (x₁, y₂),……, (x_n, y_n)
とするとき、xy平面上の直線y＝mx＋bに含まれる定数m、bを、二乗和

が最小になるように定めると、YのXに関する回帰直線が得られる。これも二乗和を最小にする方法である。

　次に連立一次方程式

を考えよう。方程式の数Nが未知数の数nより大きいとき、一般にはこの連立一次方程式は解をもたない。このような場合も含めて

と置いて、二乗和

を最小にするようにx₁, x₂,……, x_nを定める方法が最小二乗法である。連立一次方程式（*）が解をもつこととfの最小値が0であることとは同等である。f(x₁,……, x_n)を最小にするx₁, x₂,……, x_nは、次の連立一次方程式

を解いて求められる。この方程式（**）を正規方程式という。

　最小二乗法は統計学において母数を推定する場合にも用いられる。X₁, X₂,……, X_nは独立な確率変数で、各X_iの平均値が未知の母数θ₁,θ₂,……,θ_kを含むものとする。

　E(X_i)＝_i(θ₁,θ₂,……,θ_k) i＝1,……, n(X₁, X₂,……, X_n)の実現値(x₁, x₂,……, x_n)が与えられたとき、二乗和

を最小にするようなθ₁,θ₂,……,θ_kの値₁,₂,……,_kをθ₁,θ₂,……,θ_kの推定値とするのである。

［古屋　茂］

[参照項目] | 回帰直線 | 推定

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

世界大百科事典内の最小二乗法の言及

【統計的推定】より

…　は，各x_iと期待値μの偏差平方和，　s＝(x₁－μ)²＋……＋(x_n－μ)²を最小にするμの値に等しい。これはもっと複雑な問題で，x_iの期待値が未知パラメーターμ₁，……，μ_pの線形結合l_i1μ₁＋……＋l_ipμ_pで表されているときに偏差平方和，を最小にするような推定方式(最小二乗法)の特別な場合に当たる。最小二乗法による推定量は一般にx_iが等分散，無相関のとき線形最良推定量であることが示される。…

※「最小二乗法」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社