最小二乗法(読み)さいしょうじじょうほう

ASCII.jpデジタル用語辞典の解説

最小二乗法

予測値に基づくy=ax+bの直線上の値と、実際の値との差の2乗和が最小となるような回帰直線を求める方法。ある誤差をともなうような2つの変量x、yがあるとき、回帰直線をy=ax+bとすると、b=Σ(xの偏差)(yの偏差)/Σ(xの偏差)2、a=yの平均-b(xの平均)になる。

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百科事典マイペディアの解説

最小二乗法【さいしょうにじょうほう】

多くの測定値から最も確からしい値を求める一方法。両者の差の2乗の和が最小になるよう推定値を定める。これによりn個の測定値から得られる最も確からしい値はそれらの相加平均(測定値の精度に差があれば重みつき平均)となる。一般には測定値から適当な2乗和をつくりそれを最小にする。量の間の関係式(実験式)を推定するのにも使う。
→関連項目ルジャンドル

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栄養・生化学辞典の解説

最小二乗法

 二つの因子間に関数関係がある場合,すべての実測値と理論値の差の二乗を最小にするように関数関係を仮定すること.

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世界大百科事典 第2版の解説

さいしょうにじょうほう【最小二乗法 least square method】

19世紀の初め,C.F.ガウスが天体の運動理論を展開するにあたって,多くの観測結果にもっともよく一致するよう軌道を決定するために開拓された方法であって,応用範囲も広く,誤差論と一対をなしている。 ある未知量を測定するのに,十分注意を払っても偶発的な誤差を免れない。最小二乗法はこのような誤差を含む多くの測定値から真の値を有効に推定する統計的手法で,正規分布(ガウス分布)に基礎をおいている。ガウスの理論はこの分布の特徴づけから始まる。

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大辞林 第三版の解説

さいしょうにじょうほう【最小二乗法】

一つの量について、多数の観測値から最も確からしい値を求めるのに、その値はそれぞれの観測値との誤差の2乗の和を最小にするもので求められる、という原理を使う方法。最小自乗法。

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

最小二乗法
さいしょうじじょうほう
method of least squares

誤差を伴う測定値の処理法の1つで,ある量の最も確かな測定値とか,測定値を基にして2つ以上の諸量の間に成り立つ関係式 (実験式) を求めるのに用いられる。ある量 x について n 回の測定を行なって xi を得た場合,各測定値の重みを wi として,w1(x1a)2w2(x2a)2+…+wn(xna)2 を最小とする a を求めて x の最も確からしい値とする。またある関係にあると考えられる2つの量 xy を測定して,互いに対応するそれぞれの測定値 (x1y1) ,(x2y2) ,などが xy 平面で直線 yabx のまわりにある場合,(y1abx1)2+(y2abx2)2+…+(ynabxn)2 を最小にする a および b の値を求める。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

最小二乗法
さいしょうじじょうほう

二乗和を最小にする方法。もっとも簡単な例は、x1, x2,……, xnが与えられたとき

を最小にするようにθを定める問題で、この場合には

のときf(θ)が最小になる。
 次の例は回帰直線である。二つの変量X、Yについての測定結果を
  (x1, y2), (x1, y2),……, (xn, yn)
とするとき、xy平面上の直線y=mx+bに含まれる定数m、bを、二乗和

が最小になるように定めると、YのXに関する回帰直線が得られる。これも二乗和を最小にする方法である。
 次に連立一次方程式

を考えよう。方程式の数Nが未知数の数nより大きいとき、一般にはこの連立一次方程式は解をもたない。このような場合も含めて

と置いて、二乗和

を最小にするようにx1, x2,……, xnを定める方法が最小二乗法である。連立一次方程式(*)が解をもつこととfの最小値が0であることとは同等である。f(x1,……, xn)を最小にするx1, x2,……, xnは、次の連立一次方程式

を解いて求められる。この方程式(**)を正規方程式という。
 最小二乗法は統計学において母数を推定する場合にも用いられる。X1, X2,……, Xnは独立な確率変数で、各Xiの平均値が未知の母数θ12,……,θkを含むものとする。
 E(Xi)=i12,……,θk) i=1,……, n(X1, X2,……, Xn)の実現値(x1, x2,……, xn)が与えられたとき、二乗和

を最小にするようなθ12,……,θkの値1,2,……,kをθ12,……,θkの推定値とするのである。[古屋 茂]

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世界大百科事典内の最小二乗法の言及

【統計的推定】より

… は,各xiと期待値μの偏差平方和, s=(x1-μ)2+……+(xn-μ)2を最小にするμの値に等しい。これはもっと複雑な問題で,xiの期待値が未知パラメーターμ1,……,μpの線形結合li1μ1+……+lipμpで表されているときに偏差平方和,を最小にするような推定方式(最小二乗法)の特別な場合に当たる。最小二乗法による推定量は一般にxiが等分散,無相関のとき線形最良推定量であることが示される。…

※「最小二乗法」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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