日本大百科全書(ニッポニカ) の解説
シュレーディンガーの波動方程式
しゅれーでぃんがーのはどうほうていしき
シュレーディンガーが1926年に提出した、水素原子内電子の波動を記述する方程式。
電子のエネルギーはその位置座標xなど、運動量pxなどを用いて(px2+py2+pz2)/2m-e2/rで与えられる。ここでmは電子の質量、eは単位電荷、rは陽子からの距離である。シュレーディンガーの波動方程式は、pxなどを演算子-iħ∂/∂x(ħはプランク定数hの2π分の1)で置き換えたエネルギー演算子
の固有方程式Hφ=Eφあるいは
である。この場合、電子の波動の時間的変化もこのHを用いてiħ∂φ/∂t=Hφで与えられる。前者が時間に依存しないシュレーディンガー方程式、後者が時間に依存するシュレーディンガー方程式である。水素原子内電子の場合に限らず、一般に場や粒子のHの固有方程式、あるいはHを用いた波動関数の時間的変化を与える方程式をもシュレーディンガー方程式とよぶ。
シュレーディンガー方程式は、シュレーディンガーがド・ブローイの提唱した電子に伴う波動を、幾何光学の類推を用いてポテンシャルのある場合に拡張したものであるが、量子的状態を正しく与えるものであって、形式の相違はあってもハイゼンベルクの行列力学と同等であることが示されている。
また、座標に対する運動量は座標xの微分に-iħをかけて得られるが、これは運動量という物理量が座標系をx方向にずらしても不変であることから与えられる。エネルギー量に関しても、時間をずらしても不変であることから得られる。この方程式は量子的状態を記述する量子力学の基本的な式である。
[田中 一・加藤幾芳]