日本大百科全書(ニッポニカ) 「非ユークリッド幾何学」の意味・わかりやすい解説
非ユークリッド幾何学
ひゆーくりっどきかがく
non-Euclidean geometry
楕円幾何学(だえんきかがく)と双曲幾何学を総称して非ユークリッド幾何学という。ユークリッド幾何学の公理系のなかで、いわゆる平行線の公理の独立性が古くから疑問視されていたが、19世紀に入ってその独立性が証明され、2種類の新しい幾何学が建設された。ロバチェフスキーとボヤイによる双曲幾何学（1820年代）とリーマンによる楕円幾何学（1854）である。ユークリッド幾何学の公理系において、平行線の公理を「直線外の1点を通ってこの直線と交わらない直線が少なくとも2本存在する」で置き換えて得られる公理系が双曲幾何学を、また、「二直線はかならず交わる」で置き換えて得られる公理系が楕円幾何学を与える。ユークリッド幾何学を放物幾何学とよぶこともある。双曲幾何学と楕円幾何学をあわせて非ユークリッド幾何学とよばれているが、ユークリッド幾何学に非(あら)ざる幾何学は今日ではこの2種以外にたくさん存在するので、この名称は適当とはいえない。
非ユークリッド幾何学は歴史的には公理論的に構成されたが、現代的な見地では、非ユークリッド幾何学はリーマン幾何学の特殊な例ないしは典型的なモデルとみなされる。正の定曲率空間、すなわち球面（または射影空間）上のリーマン幾何学が球面幾何学（または楕円幾何学）であり、負の定曲率空間、すなわち双曲空間上のリーマン幾何学が双曲幾何学である。また、ゼロの定曲率空間、すなわちユークリッド空間上のリーマン幾何学がユークリッド幾何学である。公理論的構成法においては、直線、平面などの基本的な概念が無定義要素であるのに対して、リーマン幾何学の立場ではこれらは具体的に定義される。たとえば、直線は2点を結ぶ局所最短線、すなわち測地線として定義される。
各幾何学は次のような特徴をもつ。ユークリッド幾何学では、(1)いくらでも離れた2点がある。(2)測地線の長さは無限大。(3)2点を通る測地線はただ1本。(4)いわゆる、平行線の公理が成り立つ。(5)三角形の内角の和がπ。
球面幾何学では、(1)任意の2点間の距離には上限がある。(2)測地線は閉曲線で長さ一定。(3)2点を通る測地線はただ1本とは限らない。(4)2本の測地線はかならず交わる。(5)三角形の内角の和がπより大。
双曲幾何学では、(1)いくらでも離れた2点がある。(2)測地線の長さは無限大。(3)2点を通る測地線はただ1本。(4)測地線外の1点を通ってこの測地線と交わらない測地線が無数に存在する。(5)三角形の内角の和がπより小。
クラインの見地では、射影空間とそれに作用する正定値二次形式を不変にする射影変換全体のなす群によって決まる古典幾何学が楕円幾何学、球体とそれに作用するローレンツ型二次形式を不変にする射影変換全体のなす群で決まる古典幾何学が双曲幾何学である。
［荻上紘一］
『滝沢精二著『幾何学入門』（1967・朝倉書店）』