ホモロジー（読み）ほもろじー（英語表記）homology

日本大百科全書(ニッポニカ)

ホモロジー
ほもろじー
homology

ホモロジーは、ホモトピー理論と並んで、組合せおよび代数的トポロジーにおける基本概念である。

多面体

n次元空間Rⁿにあるr+1個の点v₀,v₁,……,v_rが一般の位置にあるとは、どのs個(s≦r)の点もs-一次元部分空間上にないことである。これらの点v₀,v₁,……,v_rを含む最小の凸集合をr‐単体という。

　一点v₀は0単体、線分|v₀v₁|は1単体、三角形|v₀v₁v₂|は2単体、四面体|v₀v₁v₂v₃|は3単体である（図）。一般のr‐単体は|v₀v₁……v_r|で示される。ここでv₀,v₁,……,v_rをその頂点とよぶ。

　　σ^r=|v₀v₁……v_r|のとき、そのs+1個の頂点で定まるs‐単体σ^sをσ^rの辺単体という。また、次の二つの条件を満たす単体の集合Kを複体という。

（1）σ∈Kならばσの辺単体はすべてKに属す。

（2）σ,σ′∈Kならば、σ⊃σ′はσおよびσ′の共通の辺単体である。

　Kに属す単体の最大次元をそのKの次元という。Kの単体の和集合を多面体といい|K|で示す。

　Rⁿの部分集合Xは、|K|=Xとなるような複体Kが存在するとき、三角形分割されるという。

［野口　廣］

ホモロジー群

複体Kが与えられているとする。Kの各単体σ^r=|v₀v₁……v_r|にその向きを考える。向きは頂点の順列であり、偶置換で移れる向きは同じとし、そうでない向きは異なる向きとしてマイナスをつけて区別する。向きをつけた単体は、その順列の順に頂点を並べてσ^r=＜v₀v₁……v_r＞と示す。以下単体は向きをつけられているものとする。これらr‐単体の整数を係数とした和

をr‐鎖という。r‐鎖の集合はr‐単体を基とする自由加群C_r(K)をつくる。各r‐単体σ^rにその境界

を定める。ここで＜v₀……_i……v_r＞はv_iを除くことを示す。この境界∂_rσ^rはr-1鎖であり、この対応を線形に拡大して準同形写像
　　∂_r:C_r(K)→C_r-1(K)
を得る。∂_r-1゜∂_r=0であることが示されるので、
　　∂_r+1(C_r+1(K))⊂Ker∂_r
よって剰余加群
　　Hr(K)=Ker∂_r/∂_r+1(C_r+1(K))
が定まり、これをKのr次元ホモロジー群という。H_r(K)は、位相空間Xの三角形分割によらずに一定するので、これをH_r(X)で示し、Xのr次元ホモロジー群という。

　表1はいろいろな位相空間のホモロジー群を示したものである。

［野口　廣］

ベッチ数・オイラー数

多面体Xのr次元ホモロジー群H_r(X)は有限生成な可換群であり、可換群の基本定理により定まるその階数をXのr次元ベッチ数といい、p_rで示すことにする。そしてこれらの次のような和
　　χ(X)=p₀-p₁+p₂-……+(-1)ⁿp_n
を多面体Xのオイラー数という。表2は、それぞれの多面体のベッチ数とオイラー数を示したものである。

　多面体Xの任意の三角形分割をKとし、Kのr‐単体の個数をα_rで示すと、次のオイラー‐ポアンカレの公式が成り立つ。

　　Σ(-1)^rα_r=Σ(-1)^rp_r=
　χ(X):オイラー数
とくにXが球面であると、p₀=p₂=1,p₁=0であるから
　　α₀　　-　　α₁　　+　　α₂
(頂点の数)(辺の数)(面の数)
　　=p₀-p₁+p₂=2
となり、これがオイラーの多面体公式である。

［野口　廣］

コホモロジー群

複体Kのr‐鎖群をC_r(K)とする。ただし係数は実数とする。このとき、C_r(K)は実数を係数とする線形空間となる。その双対空間をC^r(K)とする。

任意の∈C^r(K)とC∈C_r+1(K)に対して
　　∂^*()(C)=(∂C)
によりコホモロジー境界準同型写像
　　∂^*_r-1:C^r-1(K)→C_r(K)
を定めると、ホモロジー群の場合と同様に
　　∂^*_r゜∂^*_r-1=0
であり、剰余群
　　H^r(K)=Ker∂^*_r/∂^*_r-1(C^r-1(K))が定まり、これが空間X=|K|のr次元コホモロジー群で、ホモトピーの研究に用いられる。

［野口　廣］

[参照項目] | ホモトピー

ホモロジー〔図〕

位相空間のホモロジー群〔表1〕

多面体のベッチ数とオイラー数〔表2〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)