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テンソル tensor

翻訳|tensor

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

テンソル
tensor

ベクトルの概念を拡張した幾何学的な量。テンソルの概念は,弾性体研究が初めであるが,微分幾何学の研究にあたって,その幾何学的性質を表現するために体系的に考えられるようになった。

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百科事典マイペディアの解説

テンソル

n次元ベクトル空間に対し,いくつかの成分の組で表される量で,座標変換に対する成分の変換関係が,空間内の点の座標成分の変換関係とある種の関係にあるものをいう。この関係のいかんにより,反変テンソル,共変テンソル,混合テンソルが区別される。
→関連項目スカラー

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世界大百科事典 第2版の解説

テンソル【tensor】

テンソルの概念はベクトルの概念を拡張したものであって,それを含むものである。テンソルの語源は弾性変形の応力(その一種である張力tension)にちなんでいる。すなわち密度一様な球状弾性体に一方向の張力を作用させると,変形して楕円体, aijxixjc  (xi,xjは三次元空間の座標, cは定数)となり,9個の係数aijが一つのテンソル成分となるが,これは応力そのものがテンソル量であることによるのである。

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大辞林 第三版の解説

テンソル【tensor】

三次元空間において五個以上の成分をもち、座標変換によって、いくつかの座標成分の積またはその一次結合と同じ形の変換を受ける量。例えば物体の慣性モーメントや歪ひずみはテンソルで表される。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

テンソル
てんそる
tensor

ベクトルの考え方を拡張したもので、数学、とくに幾何学や、物理学で重要な働きをする概念。張力tensionに由来することば。ベクトル・行列・内積といえば、代表的な基本的概念である。これらは、本来別々に生まれた概念であるが、以下述べるようにひとたびテンソルという概念を導入すると、同じ仲間として統一的に取り扱えるのである。
 まず実数の全体をRで表し、VR上のn次元ベクトル空間とする(n次元ユークリッド空間RnVの代表例である)。rを自然数とする。TVr個の直積V×…×VからRへの写像とする。すなわち、Vr個の元X1,…,Xrを決めるたびに実数T(X1,…,Xr)がただ一つ定められているとする。このとき、番号i(=1,…,r)とVの元X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xrを固定しておくと、Vの元Xを決めるたびにRの元
 T(X1,…,Xi-1,X,Xi+1,…,Xr)
がただ一つ定まる。すなわちVからRへの写像が得られたことになる。それがすべての番号iとすべてのVの元X1,…,Xi-1,Xi+1,…,Xrに対して線形になっているとき、TV上のr次テンソルという。
 V上のr次テンソルTは次のようにして数量的に表記できる。Vに一つの基{e1,…,en}を定めておくと、Vの元はすべてx1e1+…+xnenx1,…,xnRの元)の形で一通りに表せる。r×n個の実数をxij(i=1,…,rj=1,…,n)で表し、添え字i1,…,irは1からnまで動くものとすると、テンソルの定義から次が得られる。

ここで、Σはi1,…,irについて和をとるものする。この式はテンソルTnr個の実数の組{T(i1,…,ir)}で決まってしまうことを意味している。そこで、その組を基{e1,…,en}に関するTの成分という。
〔例1〕V上の1次テンソルの全体はVの双対空間V*にほかならない。また、V*上の1次テンソルの全体はVとみなせることが知られている。
〔例2〕TV上の2次テンソルとする。Vの一つの基に関するTの成分はn2個の実数からなっている。したがって、Vに一つ基を定めるたびに、V上の2次テンソルの全体と2次実正方行列の全体の間に1対1の対応があることがわかる。また、V上の(正定値)内積とは、V上の2次テンソルTで、次を満たすもののことである。
(1)Vのすべての元XYに対してT(X,Y)=T(Y,X)かつT(X,X)0
(2)X≠0ならT(X,X)>0
 とくに、Rnの2元X=(x1,…,xn)とY=(y1,…,yn)に対してT0(X,Y)=x1y1+…+xnynとおけば、T0Rn上の内積である。これをRnの標準的内積という。
〔例3〕X1,…,XnRnの任意の元とする。i=1,…,nに対して、Xi=(xi1,…,xin)とおく。xij(i,j=1,…,n)を成分とするn次正方行列をXで表して、T(X1,…,Xn)=detXとおけば、TRn上のn次テンソルであることがわかる。[高木亮一]

物理学におけるテンソル量

質点の位置ベクトルrの成分(x,y,z)は座標系のとり方により値が異なる。直角座標系の3軸を、原点を通るある軸の周りに、ある角度回転させて新しい座標系に移させると、質点の座標(x,y,z)は別の値(x',y',z')に変化する。xyzのかわりにx1x2x3と書くと、

なる線形の関係で位置ベクトルの成分の間の変換が表される。αikは定数で、座標系の回転の仕方で定まる。
 質点の速度Vの成分もまったく同じ変換をする。rと同一の変換を、座標系の回転に対して行う量を1階のテンソルまたはベクトルとよぶ。質点の位置、速度、加速度などは1階のテンソルである。二つの1階テンソルABがあるとき、9個の成分をもち、その成分がAiBjijは、1、2、3のいずれかの値をとる)である量を考え、2階のテンソルという。また一般にAiBjと同一の変換を座標系の回転に対して行う9個の成分をもつ量Tijがあるとき、Tijを2階のテンソルという。とくにTijTjiのとき2階の対称テンソルという。独立な成分は6個である。またTij=-Tjiのとき2階の反対称テンソルという。独立な成分は3個になる。質点の角運動量は2階の反対称テンソルの例である。位置ベクトルrの大きさの平方r2は座標系の回転により変わらぬ量で零階のテンソルまたはスカラーとよぶ。この種の量として電荷、質量などがある。一般にn個のベクトルの積のように変換するn階のテンソルを考えることができる。
 ニュートンの運動法則は運動量の時間変化が力に等しいとしたものであるが、この両者は1階のテンソル(ベクトル)であり、座標系を回転しても同じように変換するので、直角座標系の軸のとり方によらずに成立する。一般に物理学の基礎法則は同じ階数の異なるテンソル量を等しいと置いたもので、座標軸のとり方によらずに成立する。[武田 暁]

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世界大百科事典内のテンソルの言及

【スピノル】より

…電子のように1/2のスピンをもつ状態,さらに一般に任意のスピンをもつ状態を表すために導入された量で,スピノルの名もスピンに由来している。三次元空間を回転させたとき,その中の量は回転に伴って変化するが,その変化のしかたによってスカラー,ベクトル,テンソルなどに区別される。変化しないものをスカラーといい,空間内の変位を表す矢印と同じようにふるまうのがベクトルであり,数個のベクトルの積と同じように変化するのが高階のテンソルである。…

※「テンソル」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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