ハミルトニアン(英語表記)Hamiltonian

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ハミルトニアン
Hamiltonian

古典力学におけるハミルトン関数をさすこともあるが,通常は量子力学において系の全エネルギーに対応する演算子をさし,ハミルトン演算子ともいう。 ps を一般運動量,qs を一般座標,また s=1,2,…,N ( N は自由度の数) としてハミルトン関数を H(psqs) で表わし,psqs に対応する量子力学的演算子を代入するとハミルトニアンになる。ハミルトニアンは,量子力学において基本的に重要な役割を果している。

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世界大百科事典 第2版の解説

ハミルトニアン【Hamiltonian】

古典力学を正準形式に書き表すために導入された量であるが,量子力学においてきわめて重要な役割を果たす。
古典力学のハミルトニアン]
 古典力学で質点系を一般化座標qiで表し,運動エネルギーをK,ポテンシャルエネルギーをVとする。L(qii)=KVからpi=∂L/∂qiを定義し,piqiに共役な運動量という(iの・は,qiの1階の時間微分の意味)。iqipiで書き表し,qipiの関数として表したH(qi,pi)をこの力学系のハミルトン関数,あるいはハミルトニアンと呼ぶ。

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大辞林 第三版の解説

ハミルトニアン【Hamiltonian】

解析力学において、系の全エネルギーを(一般化された)座標と運動量とで表した式。運動方程式はハミルトニアンを与えれば定まる。量子力学におけるハミルトニアンは、解析力学におけるそれを量子化して得られるエネルギー演算子で、状態ベクトルに作用して、系の時間変化を与える。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ハミルトニアン
はみるとにあん
Hamiltonian

粒子や場のシステムのエネルギーを座標と運動量で表現したもの、および量子力学におけるエネルギー演算子をいう。後者はハミルトン演算子ともいわれる。ここで座標qは、対象としているシステムの運動を表すことができる限り任意に選んでよいが、運動量pはこれに応じて定まってくる。このような座標と運動量が特別の関係を有することをイギリスのW・R・ハミルトンがみいだした。この関係を正準共役(きょうやく)、この場合の座標と運動量を正準共役な力学変数という。先に述べたハミルトニアンとは、正準共役な力学変数でエネルギーを表現したものをハミルトンの名にちなんでよんでいるものである。したがって単振動を行う質量mの質点のハミルトニアンは(1/2m)p2+(1/2)Kq2Kは力の定数)であるが、これを(m/2)(dq/dt)2+(K/2)q2と書けばハミルトニアンではない。[田中 一]

量子力学のハミルトニアン

量子力学ではqpとを演算子と考え、この間にqp-pq=-iの関係が成り立つと考えている。p=-i∂/∂qはこの関係の具体的な一つの表現である。この結果、量子力学のハミルトニアンは古典力学のハミルトニアンのpを-i∂/∂qで置き換えた演算子Hとなり、量子力学の運動状態、すなわち量子的状態の時間的変化はi/∂t=Hで与えられる。[田中 一]

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世界大百科事典内のハミルトニアンの言及

【摂動】より

…古典力学や量子力学において,解の求められている運動をする系に,さらに別の比較的小さな力が作用してもとの運動をわずかに変化させるとき,その小さな力の影響をいう。運動を規定するものとしては,ふつう系のエネルギーを表すハミルトニアンというものを使うが,摂動はそれに対する付加項として表される。太陽による惑星の運動に及ぼす他の惑星の力や,原子に作用する外部電場の作用などが摂動の例である。…

【摂動論】より

…近似解を求める方法として,物理的意味が明確であり普遍的に用いられるのが摂動論である。与えられた系に働く力(一般には系を記述するハミルトニアンH)を主要部分H0と残りの小さい摂動H′とに分ける。主要部分(H0)のみの場合の正確な解が求められているとき,この解をもとにして,摂動による補正を逐次近似で求める計算法が摂動論と呼ばれるものである。…

【波動力学】より

… シュレーディンガーの波動方程式は次のようにして与えられる。古典力学により電子を記述し,その座標をxi,共役な運動量をpiハミルトニアンH(xi,pi)とする。その表式においてpiを微分演算子(ħ/i)(∂/∂xi)でおきかえる。…

【ハミルトン関数】より

…例えば質点mの一方向の運動方程式,は,ハミルトン関数,から正準方程式,によって導かれることを見るのは容易である。H(p,q,t)の最後の変数tHに実際含まれていない場合,運動方程式はエネルギーの積分H(p,q)=Eを許すので,H(p,q,t)は一般に扱っている力学系のもつエネルギーを表す量と考えられ,ハミルトニアンなる用語は力学変数で表された系のエネルギーの代名詞として用いられることが多い。標準的な例として,真空の電磁場におかれた荷電粒子(質量m,電荷e)の運動を導くハミルトニアンは,ベクトルポテンシャルAとスカラーポテンシャルφを用い,で与えられるが,これは荷電粒子の(電磁場との相互作用を含む)エネルギーを表し,これに電磁場固有のエネルギーを表すハミルトニアンを加えたものが全系のもつエネルギーのハミルトニアンを与えることとなる。…

※「ハミルトニアン」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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