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ホモロジー ホモロジー homology

翻訳|homology

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デジタル大辞泉の解説

ホモロジー(homology)

異種の生物間に成り立つ形態的に等しい構造関係。例として、鳥の翼とコウモリの翼手があげられる。相同。相同性。

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世界大百科事典 第2版の解説

ホモロジー【homology】

位相幾何学の研究法に,図形などの幾何学的対象に群や環などの代数的対象を対応させ,幾何学的性質を代数的性質に反映させて調べるという方法がある。ホモロジーの概念はこの方法の端緒をなしたもので,H.ポアンカレによって始められた。ホモロジーは各位相空間Xに可換群の列Hn(X)(n=0,1,2,……)を対応させ,連続写像fXYに準同型の列f*Hn(X)→Hn(Y)を対応させる。ホモロジーを定義する方法はいろいろあるが,次に特異ホモロジーと呼ばれている方法を述べよう。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ホモロジー
ほもろじー
homology

ホモロジーは、ホモトピー理論と並んで、組合せおよび代数的トポロジーにおける基本概念である。[野口 廣]

多面体

n次元空間Rnにあるr+1個の点v0,v1,……,vrが一般の位置にあるとは、どのs個(sr)の点もs-一次元部分空間上にないことである。これらの点v0,v1,……,vrを含む最小の凸集合をr‐単体という。
 一点v0は0単体、線分|v0v1|は1単体、三角形|v0v1v2|は2単体、四面体|v0v1v2v3|は3単体である()。一般のr‐単体は|v0v1……vr|で示される。ここでv0,v1,……,vrをその頂点とよぶ。
  σr=|v0v1……vr|のとき、そのs+1個の頂点で定まるs‐単体σsをσrの辺単体という。また、次の二つの条件を満たす単体の集合Kを複体という。
(1)σ∈Kならばσの辺単体はすべてKに属す。
(2)σ,σ′∈Kならば、σ⊃σ′はσおよびσ′の共通の辺単体である。
 Kに属す単体の最大次元をそのKの次元という。Kの単体の和集合を多面体といい|K|で示す。
 Rnの部分集合Xは、|K|=Xとなるような複体Kが存在するとき、三角形分割されるという。[野口 廣]

ホモロジー群

複体Kが与えられているとする。Kの各単体σr=|v0v1……vr|にその向きを考える。向きは頂点の順列であり、偶置換で移れる向きは同じとし、そうでない向きは異なる向きとしてマイナスをつけて区別する。向きをつけた単体は、その順列の順に頂点を並べてσr=<v0v1……vr>と示す。以下単体は向きをつけられているものとする。これらr‐単体の整数を係数とした和

r‐鎖という。r‐鎖の集合はr‐単体を基とする自由加群Cr(K)をつくる。各r‐単体σrにその境界

を定める。ここで<v0……i……vr>はviを除くことを示す。この境界∂rσrr-1鎖であり、この対応を線形に拡大して準同形写像
  ∂r:Cr(K)→Cr-1(K)
を得る。∂r-1r=0であることが示されるので、
  ∂r+1(Cr+1(K))⊂Ker∂r
よって剰余加群
  Hr(K)=Ker∂r/∂r+1(Cr+1(K))
が定まり、これをKr次元ホモロジー群という。Hr(K)は、位相空間Xの三角形分割によらずに一定するので、これをHr(X)で示し、Xr次元ホモロジー群という。
 表1はいろいろな位相空間のホモロジー群を示したものである。[野口 廣]

ベッチ数・オイラー数

多面体Xr次元ホモロジー群Hr(X)は有限生成な可換群であり、可換群の基本定理により定まるその階数をXのr次元ベッチ数といい、prで示すことにする。そしてこれらの次のような和
  χ(X)=p0-p1+p2-……+(-1)npn
を多面体Xのオイラー数という。表2は、それぞれの多面体のベッチ数とオイラー数を示したものである。
 多面体Xの任意の三角形分割をKとし、Kr‐単体の個数をαrで示すと、次のオイラー‐ポアンカレの公式が成り立つ。
  Σ(-1)rαr=Σ(-1)rpr=
 χ(X):オイラー数
とくにXが球面であると、p0=p2=1,p1=0であるから
  α0  -  α1  +  α2
(頂点の数)(辺の数)(面の数)
  =p0-p1+p2=2
となり、これがオイラーの多面体公式である。[野口 廣]

コホモロジー群

複体Kr‐鎖群をCr(K)とする。ただし係数は実数とする。このとき、Cr(K)は実数を係数とする線形空間となる。その双対空間をCr(K)とする。
任意のCr(K)とCCr+1(K)に対して
  ∂*()(C)=(∂C)
によりコホモロジー境界準同型写像
  ∂*r-1:Cr-1(K)→Cr(K)
を定めると、ホモロジー群の場合と同様に
  ∂*r*r-1=0
であり、剰余群
  Hr(K)=Ker∂*r/∂*r-1(Cr-1(K))が定まり、これが空間X=|K|のr次元コホモロジー群で、ホモトピーの研究に用いられる。[野口 廣]

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