ポテンシャル論(読み)ポテンシャルろん(英語表記)theory of potential

改訂新版 世界大百科事典 「ポテンシャル論」の意味・わかりやすい解説

ポテンシャル論 (ポテンシャルろん)
potential theory

ベクトルFがスカラーUによってF=-gradUと表されるとき,UFポテンシャルという。

 例えば,三次元空間の,集合Eを占める物体Mがあり,点QEにおける密度がρ(Q)のとき,万有引力定数Gとおけば,物体Mによる重力の場Fは,ポテンシャル,の-grad Uに等しい。

 PPxyz)とすると,この関数ポアソン方程式をみたす。したがって,とくに,Eの外点では⊿U=0をみたしている。つまり調和関数である。

 ポテンシャル論は,もとは物理学の一部であったが,19世紀になって,S.ポアソン,G.グリーン,C.ガウスらによって数学の対象として理論が作られ始めた。とくにガウスの功績は大きい。

 ポテンシャル論の対象の一つとして,ディリクレ問題Dirichlet problemがある。これは,与えられた領域で調和で,境界で与えられた関数と一致するものを求める問題である。この問題の解は,適当な質量を用いた積分で表すことができる。例えば,原点O中心で半径Rの球においては,その表面S上に与えられた連続な境界値をfとしたとき,ディリクレ問題の解は,次のポアソン積分によって与えられる。 現在では,一般の空間X測度μとX×Xの関数Kxy)が与えられたときに決まる関数,のことを〈Kを核としμを質量分布とするポテンシャル〉と呼び,このような関数に関連した理論をポテンシャル論という。Xが三次元ユークリッド空間のとき,Kxy)=|xy|⁻1を核とするものをニュートンポテンシャルNewton potentialという(dμ=-GρdVとしたものがちょうど前述のものである)。二次元ユークリッド空間では,

 Kxy)=-logxy

を核とする対数ポテンシャルが重要である。じっさい,これは,質量の分布されてないところでは,平面での調和関数であるので,関数論との関連が深い。なお,一般のポテンシャル論は,確率論とも密接な関係がある。
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日本大百科全書(ニッポニカ) 「ポテンシャル論」の意味・わかりやすい解説

ポテンシャル論
ぽてんしゃるろん
theory of potential


とし、関数u(x,y,z)=-1/rを考えると、原点にある質量1の質点と、(x,y,z)にある質量1の質点の間の引力は、ベクトル

で表される。このとき、関数u(x,y,z)を重力場Fのポテンシャルという。

 このように、ベクトル場F(x,y,z)が、関数u(x,y,z)により

の形で表されるとき、u(x,y,z)をF(x,y,z)のポテンシャルという。

  F(x,y,z)
   =(f(x,y,z),g(x,y,z),
    h(x,y,z))
がポテンシャルをもつ必要十分条件は
  rotF=0すなわち、

である。

[洲之内治男]

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 「ポテンシャル論」の意味・わかりやすい解説

ポテンシャル論
ポテンシャルろん
potential theory

力学で,ベクトル量の力 F の代りにスカラー量のポテンシャル を考えれば,力は ,すなわち,力の成分は で与えられる。静電場 E や静磁場 H に対しても同様な電気ポテンシャル (電位) ,磁気ポテンシャル (磁位) が考えられる。ポテンシャル は物質 (または電荷,磁荷) が体積密度 ρ で分布するところ,および分布しないところで,それぞれ次の式を満足する。
物質 (電荷,磁荷) の分布が既知のとき,これらの偏微分方程式の境界値問題の解としてポテンシャル を求め,力場 (電場,磁場) を定めるなど,ポテンシャルに関する数学をポテンシャル論という。

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