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交代式 こうたいしきalternating expression

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

交代式
こうたいしき
alternating expression

n 個の文字 x1x2,…,xn の整式,あるいは有理式 F(x1x2,…,xn) において,任意の2変数 xixj を取替えると,もとの式と符号だけが変るとき,すなわち,F(x1,…,xi,…,xj,…,xn)=-F(x1,…,xj,…,xi,…,xn)が成り立つとき,式 Fx1x2,…,xn の交代式という。

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デジタル大辞泉の解説

こうたい‐しき〔カウタイ‐〕【交代式】

有理式において、その中の任意の二つの変数を交換すると、式の符号だけが変わった式となるもの。

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世界大百科事典 第2版の解説

こうたいしき【交代式 alternating expression】

3変数の多項式 f(x,y,z)=x2yy2xy2zz2yz2xx2z g(x,y,z)=x4yy4xy4zz4yz4xx4z  -x3y2x2y3y3z2z3y2z3x2x3z2において,xyを入れかえると,符号が変わって,それぞれ-f(x,y,z),-g(x,y,z)となる。yzあるいはzxを入れかえても同じである。このような多項式のことを交代式と呼ぶ。一般にn変数の多項式f(x1,……,xn)のうちで,変数x1,……,xnの順序を入れかえたとき,f(x1,……,xn)か-f(x1,……,xn)となるもので,対称式でないものを交代式という。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

交代式
こうたいしき

n個の変数x1、x2、…、xnの多項式において、任意の二つの変数を交換すると、もとの式の符号だけを変えた式が得られるとき、その式はx1、x2、…、xnに関する交代式であるという。たとえば、二つの変数x、yの多項式
  f(x, y)=x3-x2y+xy2-y3
のxとyを入れ換えて新しい多項式をつくる。
  f(y, x)=y3-y2x+yx2-x3
この多項式はもとの多項式f(x, y)に-1を掛けたものになる。つまり
  f(y, x)=-f(x, y)
 このような多項式の性質を、変数を増やして考えたものが交代式である。つまり、n個の変数x1、x2、…、xnの多項式f(x1, x2,…, xn)で異なるiとjに対し、xiとxjを入れ換えると、もとの多項式f(x1, x2,…, xi,…, xj,…, xn)からf(x1, x2,…, xj,…, xi,…, xn)ができる。この二つの多項式を比べたとき、
  (*) f(x1,…, xi,…, xj,…, xn)=-f(x1,…, xj,…, xi,…, xn)
が任意の相異なるiとjに対して成り立つとき、この多項式fを交代式という。(*)のかわりに
  f(x1,…, xi,…, xj,…, xn)=f(x1,…, xj,…, xi,…, xn)
が成り立つのが対称式である。
 二つの交代式の和、差はまた交代式であるが、積は対称式になる。また、対称式と交代式の積は交代式である。n変数の交代式でいちばん簡単で重要なものは

である。このΔnは1≦i<j≦nなるすべてのi、jに対し、差(xi-xj)をつくり、その積をとったものであるから、差積といわれる。たとえば
  Δ2=x1-x2,
  Δ3=(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)
である。(*)式でxi=xjと置いてみると
  f(x1,…, xi,…, xi,…, xn)=-f(x1,…, xi,…, xi,…, xn)
となり、f(x1,…, xi,…, xi,…, xn)=0を得るから、交代式f(x1,……, xn)はxiの一変数多項式として解xjをもち、(xi-xj)で割り切れる。したがって任意の差(xi-xj)(i<j)で割り切れるから、それらの積である差積Δnで割り切れる。
  f(x1,……, xn)=Δn・s(x1,……, xn)
なる多項式s(x1,……, xn)を考えると、fとΔnは交代式であるから、sは対称式になる。ここで対称式の基本定理を使うと、sは基本対称式s1、s2、……、snの多項式になる。ここで

である。ゆえに任意の交代式は、基本対称式の多項式と差積の積になる。この結果は交代式の因数分解などに使われる。たとえば
 x3-x2y+xy2-y3
は交代式であるからΔ2=x-yで割り切れる。実際割り算を行って、商x2+y2を得るから
 x3-x2y+xy2-y3
  =Δ2(x2+y2)=Δ2(s12-2s2)
となる。[菅野恒雄]

出典|小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)
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