イデアル（読み）いである（英語表記）ideal ドイツ語

日本大百科全書(ニッポニカ)

イデアル
いである
ideal ドイツ語

数学用語。可換環(かかんかん)RにおいてRの空でない部分集合Iで
(1)a,b∈Iならばa＋b∈I
(2)a∈I,r∈Rならばa・r∈I
を満たすものをRのイデアルという。ここで、a∈Aは、「aは集合Aの元である」ことを表す。代数数体の整数の理論の中心となる概念として、デーデキントが定義したことに始まる。イデアルのもっとも簡単な例は単項イデアルとよばれるものである。可換環Rにおいて、Rの一つの要素mをとり、固定しておく。mとRの任意の要素との積（すなわちmの倍数）の全体を（m）とする。すなわち
　　(m)＝｛mr｜r∈R｝
とする。すると集合（m）はRのイデアルであり、このように一つの要素の倍数の全体のつくるイデアルを単項イデアルという。普通の整数の全体のつくる可換環をZとする。Zでは、イデアルは単項イデアルに限ることが示され、さらに
　　(m)＝(n)m＝±n
である。そこでイデアルを考えるということは、整数を符号を無視して考えるということにほかならないので、イデアルの特別な役割はみられない。また、ガウスの整数環Z［i］でも、すべてのイデアルは単項イデアルである。イデアルがすべて単項イデアルであるような環を単項イデアル環という。

　イデアルがその役割をみせるのは、単項イデアル環でないときである。次に、単項イデアル環でない例をあげよう。a、bを整数としてa＋bのような複素数の全体をZ［］と表すと、Z［］は可換環である。このZ［］の要素のうちで、とくに整数x、yを用いて2x＋（－1＋）yと表されるものの全体を［2,－1＋］と表すと、この集合［2,－1＋］は単項イデアルでないことが示される。

　整数環Zで素数という概念を中心に展開される整数の諸理論は、ガウスの整数環Z［i］においても同じように行われる。しかし、ここにあげた整数環Z［］においては同じような展開をすることができない。そこでデーデキントは、整数にかわるものとしてイデアルという対象をとらえ、整数の理論の拡張としてイデアルの理論を建設したのである。

［寺田文行］

[参照項目] | ガウスの整数

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

イデアル
ideal

整数の全体 (整数環) と多項式の全体 (多項式環) は，整除に関して類似の性質をもつ。しかし多項式でも多元多項式になると，整数や1元多項式のようには取扱えない。整数 m の代りに，m の倍数の全体 (m) を問題にしても同じことなので，このようなものとしてイデアルを考える。多元多項式になると，(m) のような形以外のイデアルが考えられることになるので，それを用いる有効性が生じるのである。また，環以外の構造についても，それと同じ技法で考えたものをイデアルと呼ぶ。 (1) 環のイデアル　多項式や整数は可換環であるが，可換でない一般の環においては，左イデアルと右イデアルを別々に定義することができる。環 R の部分集合 J が次の性質をもつとき，この J を R の左イデアルという。
(a) 零元は J に属する。
(b) J の2要素 x ，y の和，差も J に含まれる。
(c) J の要素 x に R の要素 a を左から掛けた ax も J に含まれる。
R 自身および零元もそれぞれイデアルである。同様に右イデアルは，上の (c) を x∈J ，a∈R ならば，xa∈J と修正した，加群としての R の部分群であると定義され，両側イデアルは，同じ条件のもとで，ax ，xa∈J がともに成り立つような，R の加法的部分群として定義できる。 (2) ブール代数のイデアル　ブール代数 L の部分集合 J が次の条件を満足するとき，J は L が対応するブール環の構造に関してイデアルとなる。
(a) J の2要素の結びも J に含まれる。
(b) J の要素と L の要素との交わりが J に含まれる。
一般には，束 L の空でない部分集合 J が，上の条件を満足すれば，この J はイデアルと呼ばれる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典