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類体論 るいたいろんKlassenkörpertheorie

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

類体論
るいたいろん
Klassenkörpertheorie

類体の考えは 1898年に D.ヒルベルトによって導入されたが,高木貞治は類体の定義を拡張して,代数体 kのすべてのアーベル拡大 Kは,kの上の類体として表わされることを示した。この「高木の類体論」は,代数学における最も重要な業績の一つに数えられている。

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世界大百科事典 第2版の解説

るいたいろん【類体論 class field theory】

19世紀の終りころに,D.ヒルベルトが基本的な予想を提出し,1920年ころに高木貞治が一般的な証明を与えた代数体の整数論における重要な理論。ヒルベルトは,代数体の拡大K/kの中で,とくに相対アーベル拡大,すなわち,そのガロア群がアーベル群であるようなガロア拡大の一般論を構成することおよびそのような観点から相互法則を研究することを提唱し,拡大次数が2の場合にその理論を展開した。さらに一般的な場合に関するいくつかの予想を述べ,とくにkの不分岐なアーベル拡大Kで,そのガロア群がkのイデアル類群と同型であり,kの素イデアルのKでの分解の形が,その素イデアルが属するkのイデアル類により定まるようなものが存在することを予想し,これをkの類体と名づけた。

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大辞林 第三版の解説

るいたいろん【類体論】

代数的整数論の一分野。ヒルベルトによって導入された類体の概念を高木貞治が拡張して一つの体系とした。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

類体論
るいたいろん

代数体上のアーベル拡大、すなわちガロア群がアーベル群であるような拡大体の一般論が類体論である。したがって、とくに有理数体上のアーベル拡大である円分体論や二次拡大の理論である平方剰余の理論を包含する。
 類体という概念はヒルベルトによって1898年に導入された。代数体kのガロア拡大Kがkの類体であるとは、kの一次素イデアル(すなわち絶対ノルムが素数となる素イデアル)が単項イデアルである場合、またその場合に限ってKの一次の素イデアルの積に分解されるときである。このヒルベルトの類体は現在は絶対類体とよばれている。kの絶対類体をKとするとき、次のような定理が成り立つ。(1)Kはk上アーベル拡大で、そのガロア群はkのイデアル類群に同形である。(2)Kはk上の最大不分岐アーベル拡大である。(3)Pをkの素イデアルとし、fをPfが単項イデアルとなる最小自然数とすると、KにおいてPは
  P=P1……Pg,fg=[K:k]
 と素イデアル分解される。
 これらをヒルベルトが予想し、フルトベングラーPhilipp Furtwngler(1869―1940)が1907年に解決した。高木貞治(ていじ)は絶対類体の考えを一般アーベル拡大にまで拡張し、前記の諸定理に対応する類体論の基本定理を証明した(1920)。その後アルティンは一般相互法則をみつけ、アーベル体論を完成した。類体論は日本人による最初の数学上の世界的貢献であるとともに、その体系の美しさにより現代数学のなかでも特別の位置を占めている。[足立恒雄]

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世界大百科事典内の類体論の言及

【数学】より

…その解決に日本の数学者が直接,間接に寄与しているものも少なくない。とくに数論に関するもの二つは高木貞治の提唱した類体論によって解決された(1920)。 ヒルベルトは代数学の不変式論の研究から出発し,幾何学基礎論,ついで数論,積分方程式論,ポテンシャル論などの研究に移り,晩年は数学基礎論に専念した。…

【高木貞治】より

…第1次世界大戦中より,代数体のアーベル拡大の数論についての研究を進め,20年《東大紀要》に発表。それが〈高木類体論〉として世界に知られるようになった。今世紀の数論のもっとも重要な結果の一つである。…

※「類体論」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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