二次曲面（読み）ニジキョクメン（英語表記）quadrics

デジタル大辞泉

にじ‐きょくめん【二次曲面】

平面による切り口が楕円・双曲線・放物線などの二次曲線になる曲面。三元二次方程式で表される。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

にじ‐きょくめん【二次曲面】

1. 〘 名詞 〙 三元二次方程式によって表わされる空間図形の総称。係数の値のとり方によって、球面、楕円面、双曲面、楕円放物面などになる。〔数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書（1889）〕

出典　精選版 日本国語大辞典

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

二次曲面
にじきょくめん
quadrics

空間において，座標 P（x，y，z）が2次方程式 ax²＋by²＋cz²＋2fyz＋2gzx＋2hyx＋2lx＋2my＋2nz＋d＝0 を満足するような点全体は，二次曲面といわれる空間図形をつくる。係数はすべて任意の実数であり，その値のとり方によって，各種の二次曲面が得られる。ただし，複素変数で考えて，係数にも複素数を許した複素二次曲面を考えることもある。退化しない実二次曲面を標準方程式で示せば次のようになる。

(1) 楕円面		x2/a2＋y2/b2＋z2/c2＝1
(2) 二葉双曲面		x2/a2－y2/b2－z2/c2＝1
(3) 一葉双曲面		x2/a2＋y2/b2－z2/c2＝1
(4) 楕円錐		x2/a2＋y2/b2－z2/c2＝0
(5) 楕円放物面		x2/a2＋y2/b2－2z＝0
(6) 双曲放物面		x2/a2－y2/b2－2z＝0
(7) 楕円柱		x2/a2＋y2/b2－1＝0
(8) 双曲柱		x2/a2－y2/b2－1＝0
(9) 放物柱		x2－2py＝0

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

日本大百科全書(ニッポニカ)

二次曲面
にじきょくめん

空間の直交座標x、y、zの間の二次方程式
　ax²+by²+cz²+2fyz+2gzx+2hxy
　　　+2lx+2my+2nz+d=0
で表される曲面を二次曲面という。座標系を適当に平行移動したり回転移動したりすれば、二次曲面は以下の七つの標準形のいずれかになる（ただし、以下のa、b、cは原式のものとは異なる）。

(1)楕円面(だえんめん)
　(x²/a²)+(y²/b²)+(z²/c²)=1
どの平面で切っても切り口は楕円である。また、この二次曲面だけは有限の範囲に収まっている。a=bのとき、ラグビーボールまたは円盤に似た形で、z軸の周りの回転面となる。これを回転楕円面という。a=b=cのときは半径aの球面となる。

(2)二次錐面(すいめん)
　(x²/a²)+(y²/b²)-(z²/c²)=0
z軸に垂直に切ると切り口はすべて楕円である。原点を通る平面で切ると切り口はすべて2本の直線となるから、線織面(せんしきめん)である。ここで線織面とは、ある直線群が織り成す曲面をいう。

(3)一葉双曲面
　(x²/a²)+(y²/b²)-(z²/c²)=1
z軸に垂直に切ると切り口は楕円で、z軸を含む平面で切ると切り口は双曲線である。原点から遠ざかるにつれて(2)に限りなく近づいていくので、(2)をこの曲面の漸近面(ぜんきんめん)という。またこの曲面は線織面である。a=bのとき、くびれたところの近くは鼓(つづみ)に似た形で、z軸の周りの回転面となる。これを回転一葉双曲面という。

(4)二葉双曲面
　(x²/a²)+(y²/b²)-(z²/c²)=-1
z軸に垂直に切ると切り口は楕円で、z軸を含む平面で切ると切り口は双曲線である。この曲面も原点から遠ざかるにつれて(2)に限りなく近づくので、やはり(2)が漸近面となる。

(5)楕円放物面
　(x²/a²)+(y²/b²)=2z
z軸に垂直に切ると切り口は楕円で、z軸を含む平面で切ると切り口は放物線である。a=bのとき、z軸の周りの回転面で、回転放物面という。

(6)双曲放物面
　(x²/a²)-(y²/b²)=2z
原点の近くは馬の鞍(くら)とか峠に似た形で、線織面である。z軸に垂直に切ると切り口は双曲線または直線で、z軸に平行に切ると切り口は放物線または直線である。

(7)柱面　xy平面のある二次曲線を通りxy平面に垂直な直線群が織り成す曲面である。円柱(x²/a²)+(y²/a²)=1と、楕円柱面(x²/a²)+(y²/b²)=1と、双曲柱面(x²/a²)+(y²/b²)=1と、放物柱面(x²/a²)=2yの四種類であるが、このうち円柱だけが回転面である。

［高木亮一］

[参照項目] | 線織面

二次曲面（楕円面）

二次曲面（二次錐面）

二次曲面（一葉双曲面）

二次曲面（二葉双曲面）

二次曲面（楕円放物面）

二次曲面（双曲放物面）

二次曲面（柱面）

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

二次曲面 (にじきょくめん)
quadric
quadratic surface

空間の直交座標（x，y，z）を用いて，実数係数の二次方程式Ax²＋By²＋Cz²＋2Fyz＋2Gzx＋2Hxy＋2F′x＋2G′y＋2H′z＋D＝0で表される曲面を総称して二次曲面という。係数A，B，……，H′のとりようによっては，方程式を満たす点はまったくなかったり，方程式は1点，1直線，1平面，または2平面を表すこともあるが，これらを除けば二次曲面は，適当な直交座標系を用いれば，次の形の方程式のいずれか一つで表され，かっこ内に書いた名称で呼ばれる。

このうち（1）～（5）の曲面を固有二次曲面という（図1）。二次曲面がある点に関して対称なとき，この点を二次曲面の中心といい，中心がただ一つ存在する二次曲面を有心二次曲面という。（1）～（9）のうち，（1）～（3）と（9）が有心二次曲面である。（1），（3），（4）の曲面は直線を一つも含んでいないが，（2）と（5）～（9）の曲面は無限に多くの直線によって描かれる線織面である。これらの直線をそれぞれの曲面の母線という。とくに（2）と（5）の曲面上にはそれらを描く2組の直線族があって，同じ族の2直線は交わらず，異なった族の2直線は交わっている（図2）。
執筆者：中岡 稔

図1～図2

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

百科事典マイペディア

二次曲面【にじきょくめん】

空間において，座標（x，y，z）の二次方程式で表される曲面。球面，楕円面，双曲面，放物面，二次錐面，二平面等を含む。→二次関数／二次曲線
→関連項目曲面

出典　株式会社平凡社