フーリエ級数(読み)ふーりえきゅうすう(英語表記)Fourier series

日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

フーリエ級数
ふーりえきゅうすう
Fourier series

区間[0,2π]で定義された周期2πの周期関数f(x)に対し、

として、級数

を考え、これを関数f(x)のフーリエ級数という。これはJ・フーリエが1810年代に熱拡散問題を解くために導入したものである。

 フーリエ級数で基本的な問題は、f(x)にどのような条件を置くと、級数Sf](x)が収束し、その和がf(x)に等しくなるかである。この問題のむずかしさは、たとえばフーリエ級数Sf](x)が各点でf(x)に収束するためには、f(x)が連続というだけでは十分でない(反例がある)。もうすこしf(x)に滑らかさを要求して、「周期関数f(x)が区分的に滑らかであるとは、区間[0,2π]において、有限個の点を除いてf´(x)が存在して有界連続となること」と定義すると、関数f(x)が[0,2π]において区分的に滑らかならば、f(x)のフーリエ級数Sf](x)は任意の点xで1/2{f(x-0)+f(x+0)}に収束する。

 この結論は、f(x)が有界変動(f(x)=f1(x)-f2(x)と書けて、f1(x),f2(x)は単調増加関数)としてもそのまま成り立つ。

 このように関数f(x)を一般にする方向では、最終的な結果が、1966年にスウェーデンのL・カールソンによって得られた。それはf(x)が[0,2π]で自乗可積分、すなわち

ならば、そのフーリエ級数Sf](x)はほとんど至る所のxf(x)に収束する。

[洲之内治男]

nu" id="フーリエ級数のL2収束">フーリエ級数のL2収束

[0,2π]で定義された自乗可積分((1)を満足する)な関数の全体をL2[0,2π]で表し、f(x),g(x)∈L2[0,2π]に対して内積とノルムを

で定義すると、L2[0,2π]はヒルベルト空間になる。

 とくに関数列{fn(x)}がf0(x)に対し
  ‖fn-f0‖→0 (n→∞)
となるとき、{fn(x)}はf0(x)にL2収束(自乗平均収束)するという。このように収束の概念を拡張すると、周期2πをもつ連続関数f(x)に対し、そのフーリエ級数Sf](x)はf(x)にL2収束することがいえる。

[洲之内治男]

直交関数系

一般に区間[a,b]上の自乗可積分な関数の全体をL2(a,b)とし、内積やノルムを、(2)をaからbまでの積分として定義すると、L2(a,b)はヒルベルト空間になる。{j(x)}⊂L2(a,b)が〈i,j〉=0(ij)となるとき、{j(x)}は直交関数系であるといい、さらに、すべてのjに対し、‖j‖=1となっているとき正規直交関数系であるという。

 L2(a,b)の正規直交関数系{j(x)}が与えられたとき、f(x)∈L2(a,b)に対し、cj=〈f,j〉としてつくった級数

を{j(x)}によるフーリエ級数という。正規直交系に関する展開はヒルベルト空間における一般論に含まれる。

 L2[0,2π]で

は正規直交関数系である。

 L2(-1,1)において、ルジャンドルの多項式

は直交関数系であり、

になる。

[洲之内治男]

『猪狩惺著『フーリエ級数』(1975・岩波書店)』

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精選版 日本国語大辞典の解説

フーリエ‐きゅうすう ‥キフスウ【フーリエ級数】

〘名〙 数学で、フランスの数学者フーリエの開発した級数のこと。関数を正弦関数と余弦関数で表現するのに用いる。〔電気工学ポケットブック(1928)〕

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

フーリエ級数
フーリエきゅうすう
Fourier series

J.フーリエが熱伝導の問題を扱っているときに導入した無限級数で,周期的な現象を研究するときに欠かせない。関数 f(x) を,区間 [ab] で定義された1つの有界可積分関数とし,{ψn(x)} を [ab] における正規直交関数列とする。もし,f(x) が f(x)=c1ψ1(x)+c2ψ2(x)+… のように表わされるとき
で定義される級数を,{ψn(x)} に関する f(x) のフーリエ級数と呼び,次のように書く。
ここに現れる数列 {cn} を f(x) の {ψn(x)} に関するフーリエ係数という。 [ab] として [-π,π] をとり,{ψn(x)} として, , cos x/√π , sin x/√π ,… , cos nx/√π , sin nx/√π とれば,f(x) のフーリエ級数は
の形となる。このような級数を三角級数と呼ぶ。

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百科事典マイペディアの解説

フーリエ級数【フーリエきゅうすう】

区間(−π,π)で定義された積分可能な関数fx)に対し,(式1)を係数とする三角級数(式2)を,f(x)のフーリエ級数という。f(x)が適当な条件をみたすときf(x)のフーリエ級数は収束し,その和はf(x)に等しくなる。これはf(x)で表現される振動を振動数nの単振動に分解することに相当し,解析学や物理学の重要な手段となっている。→級数
→関連項目コルモゴロフディリクレフーリエルベーグ

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世界大百科事典 第2版の解説

フーリエきゅうすう【フーリエ級数 Fourier series】

区間(-π,π)において三角関数系,は正規直交系をなす。(-π,π)で積分可能な関数f(x)に対して,f(x)のフーリエ係数といい,これを用いて作った級数,f(x)のフーリエ級数という。指数関数系,も(-π,π)において正規直交系をなすから,この関数系に関するフーリエ係数,およびフーリエ級数,を考える。f(x)が実数値関数ならば,c0a0,2cnanibn,cncn(n≧1)なる関係があり,(1)と(2)とは本質的に同じものと考えてよい。

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世界大百科事典内のフーリエ級数の言及

【概周期関数】より

a(λ)=Mx[f(x)eiλx]とおくと,各f(x)に対してa(λ)≠0なるλはたかだか可算無限個しかない。それらをλ1,λ2,……,λn,……とし,anan)とするとき,fの(広義の)フーリエ級数という。これはふつうのフーリエ級数と類似の性質をもっている。…

【解析学】より

…前者の分野は複素関数論,または単に関数論と呼ばれ,後者は実関数論と呼ばれる。実関数論の方向は,J.フーリエの熱伝導に関する有名な論文(1812)に現れたいわゆるフーリエ級数に端を発するといえる。すなわち,P.ディリクレはフーリエ級数に関する二つの論文(1829,37)において,関数の現代的な定義を確立したが,その後リーマンが積分の一般的な定義を確立(1854)し,G.カントルが無理数論および集合論を創始した(1872)のも,フーリエ級数が誘因の一つであったと思われる。…

※「フーリエ級数」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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