シュレーディンガーの波動方程式(読み)シュレーディンガーのはどうほうていしき(英語表記)Schrödinger's wave equation

  • Schr&ouml
  • Schrödinger wave equation
  • dinger's wave equation
  • シュレーディンガーのはどうほうていしき〔ハドウハウテイシキ〕

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

L.ド・ブロイ物質波の考えを発展させ,1926年に E.シュレーディンガーは,物質粒子,特に電子の運動状態を記述するために波動力学を創始した。粒子は波動性をもつため,その状態は波動関数Ψrt)によって記述される。ただし r は位置座標,t は時間である。Ψ の時間的変化は次の式で決定される。
iℏ∂Ψ/∂t
これをシュレーディンガーの波動方程式,またはシュレーディンガー方程式という。 ℏはディラック定数(h/2π,hプランク定数)である。Hハミルトニアンと呼ばれ,系のエネルギーを表す演算子である。特に質量m の粒子がポテンシャルVr)をもつ外力を受けている場合,古典力学における力学的エネルギーに対応して,H=-(ℏ2/2mV2V となる。なお,電子などを相対論的に扱わなければならないときは,ディラック方程式を用いなければならず,この方程式から導かれるスピンは重要な量である。したがって,非相対論的に扱う場合でも,スピンを考慮した波動方程式を用いなければならないことが多い。

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法則の辞典の解説

波動力学(非相対論的量子力学)の基礎となる方程式.原子分子の問題をくのに有用である.通常の三次元の座標系においては,粒子の質量を m,全エネルギーを E,ポテンシャルエネルギーを V としたとき,波動関数 ψ は定常状態に対するシュレーディンガー方程式,すなわち

の解となる.よく略して Hψ=Eψの形で書かれる.

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

シュレーディンガーが1926年に提出した、水素原子内電子の波動を記述する方程式。

 電子のエネルギーはその位置座標xなど、運動量pxなどを用いて(px2py2pz2)/2me2/rで与えられる。ここでmは電子の質量、eは単位電荷、rは陽子からの距離である。シュレーディンガーの波動方程式は、pxなどを演算子-iħ∂/∂x(ħはプランク定数hの2π分の1)で置き換えたエネルギー演算子

の固有方程式Hφ=Eφあるいは

である。この場合、電子の波動の時間的変化もこのHを用いてiħ∂φ/∂tHφで与えられる。前者が時間に依存しないシュレーディンガー方程式、後者が時間に依存するシュレーディンガー方程式である。水素原子内電子の場合に限らず、一般に場や粒子のHの固有方程式、あるいはHを用いた波動関数の時間的変化を与える方程式をもシュレーディンガー方程式とよぶ。

 シュレーディンガー方程式は、シュレーディンガーがド・ブローイの提唱した電子に伴う波動を、幾何光学の類推を用いてポテンシャルのある場合に拡張したものであるが、量子的状態を正しく与えるものであって、形式の相違はあってもハイゼンベルクの行列力学と同等であることが示されている。

 また、座標に対する運動量は座標xの微分に-iħをかけて得られるが、これは運動量という物理量が座標系をx方向にずらしても不変であることから与えられる。エネルギー量に関しても、時間をずらしても不変であることから得られる。この方程式は量子的状態を記述する量子力学の基本的な式である。

[田中 一・加藤幾芳]

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化学辞典 第2版の解説

粒子運動に対する量子力学的な基本方程式.簡単のため1粒子系で説明すると,量子力学の公理によって粒子の全エネルギーに対応するハミルトニアン固有値問題は,

  = EΨ

という二次の偏微分方程式となる.これをシュレーディンガー(1926年)の波動方程式といい,もっとも基本的な系のエネルギーに対して状態関数Ψを解くものである.Ψがx,y,zのほかに時間tを含んでいるとき,定常的な問題では,

と書けて,エネルギー演算子を作用させると,

となるから,

という時間を含んだシュレーディンガーの方程式も,結局,Ψをφ(x,y,z)に書き換えた波動方程式になる.別項の量子力学で述べたことを示すため,一次元の振動子の場合を扱ってみる.振動数をνとするとき,V(x)は2π 2 ν 2mx 2であるから,シュレーディンガーの波動方程式は,

である.いま,

β = 2πνm/ℏ,ε = 2mE/2
として

ξ = x
に変数を変換すると,

という方程式になる.ただし,α = ε/β.別項の固有値で示すように,φ(x)が2乗積分可能という条件,

は,

α = 2λ + 1(λ = 0,1,2,…)
であればよい.この固有値条件は,

であるから,

であることになる.つまり,粒子が1個あるという条件のもとにシュレーディンガーの波動方程式を固有値問題として解くと,系のエネルギーEは,定数1/2を除いてプランクの量子条件と同じhνの正整数λ倍のみが可能であることがいえる.λの値に対して定まる関数 φ0(x),φ1(x),φ2(x),…を固有関数といい振動子の状態を表す.振動子に対する過渡的な前期量子論と量子力学の結果の相違は,零点エネルギーhν/2の有無にある.しかし,いろいろな点からみて,零点エネルギーが存在するほうが合理的であることがわかっている.

出典 森北出版「化学辞典(第2版)」化学辞典 第2版について 情報

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