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ベクトル空間 ベクトルくうかんvector space

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ベクトル空間
ベクトルくうかん
vector space

K を任意の体とする。集合 V の任意の2つの元 (ベクトル) ab に対して加法 abV が,K の任意の元αと V の任意の元 a に対して,乗法 α・aV が定義されていて,次の条件が成り立つとき,VK の上のベクトル空間という。
(1) abba
(2) (ab)+ca+(bc)
(3) 任意の abV に対して axb である元 xV がただ1つ存在する。
(4) 1・aa
(5) α(βa)=(αβ)a
(6) α(ab)=αa+αb
(7) (α+β)a=αa+βa

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デジタル大辞泉の解説

ベクトル‐くうかん【ベクトル空間】

集合Vの任意の二つの元xyに対して和xyが定義され、任意の元xと任意の実数αに対して積αxが定義され、この和と積に関して交換・結合・分配の法則などが成立するとき、この集合Vベクトル空間という。線形空間

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百科事典マイペディアの解説

ベクトル空間【ベクトルくうかん】

線形空間とも。一つの集合Vがあり,Vの任意の二つの元x,yに対しその和と呼ばれる第三の元x+yを定める規則と,Vの任意の元xと任意の実数aに対しxのa倍と呼ばれるVの元axを定める規則が与えられており,次の1.〜8.の条件をみたしているとき,Vをベクトル空間といい,Vの元をベクトルという。
→関連項目アフィン空間空間(数学)次元(数学)スカラー線形写像ヒルベルト空間

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世界大百科事典 第2版の解説

ベクトルくうかん【ベクトル空間 vector space】

空間のベクトルにはスカラー倍,平行四辺形の法則による和が定まる。ベクトル全体とこのスカラー倍,和をいっしょに考えたものをベクトル空間という。ベクトルのスカラー倍,和は次の性質をもつ。(1)abba,(2)(ab)+ca+(bc),(3)零ベクトル0についてa0a,(4)かってなベクトルaについてaa′=0となるa′が存在する,(5)スカラーα,βについて,(α+β)a=αa+βa,(6)スカラーα,ベクトルabについて,α(ab)=αa+αb,(7)スカラーα,βについて,(αβ)a=α(βa),(8)1aa

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ベクトル空間
べくとるくうかん
vector space

線形空間ともいう。平面ベクトルと同じ計算法則を満たす加法と実数倍の定められた空間をいう。ここにいう計算法則とは、平面ベクトルや空間ベクトルに対して成立する以下の法則のことである。いまabcを任意のベクトル、klを任意の実数とするとき、(1)(a+b)+c=a+(b+c)(2)a+0=0+a=a(3)a+(-a)=(-a)+a=0(4)a+b=b+a(5)k(a+b)=ka+kb(6)(kl)a=k(la)(7)(k+l)a=ka+la(8)1a=aしたがって厳密には、ある集合に加法と実数倍が定義されていて、これについて法則(1)~(8)が成り立つときに、この集合をベクトル空間ということになる。またこのとき集合の元をベクトルという。
 平面ベクトル、空間ベクトルの全体などは、もちろん、いま定義した意味でのベクトル空間であるが、他の例としては、〔1〕n項数ベクトルの全体、〔2〕一つの集合上の実数値関数の全体、とくに数列の全体、〔3〕解析学に現れるさまざまな関数空間、連続関数全体、微分可能な関数の全体、解析関数の全体、〔4〕不定元Xについての多項式全体などがある。[高木亮一]

線形写像

二つのベクトル空間の間の写像fは、加法および実数倍と可換なとき、つまり
  f(ka+lb)=kf(a)+lf(b)
を満たすとき、線形写像といわれる。とくに、fの値域が実数であるときは、線形形式といわれる。平面ベクトルや空間ベクトルの正射影は線形写像である。導関数をとることは、微分可能関数から実数値関数への線形写像をとることである。定積分を行うことは、連続関数からの線形形式である。[高木亮一]

同形と次元

二つのベクトル空間は、線形写像による1対1対応がつくとき、同形であるという。n項数ベクトル空間と同形なベクトル空間は、有限次元であるといい、その次元をnと定める。このとき、n項数ベクトル空間の基本ベクトルe1e2、……、enに対応するベクトルa1a2、……、anが存在して、任意のベクトルはそれらの線形結合、すなわちk1a1+k2a2+……+knanの形にただ一通りに表される。このようなベクトルa1a2、……、anの組みを、ベクトル空間の一つの基という。[高木亮一]

行列と線形写像

m次元ベクトル空間Vからn次元ベクトル空間Wへの線形写像fをとる。また、VWにそれぞれ基a1a2、……、am、およびb1b2、……、bnを定めておく。
f(ai)=Fi1b1+Fi2b2+……+Finbn
   (i=1,2,……,m)
であるとき、Vの任意の元k1a1+……+kmamfによる値は、
 f(k1a1+……+kmam)
 =k1f(a1)+……+kmf(am)
 =(k1F11+……+kmFm1)b1
 +(k1F12+……+kmFm2)b2
 +……+(k1F1n+……+kmFmn)bn
となって、基の各ベクトルの値f(ai)によって完全に決まる。このときfnm列の行列(Fij)を対応させる。逆に、任意のnm列の行列(Gij)が与えられると、
 g(ai)=Gi1b1+……+Ginbn
 (i=1,2,……,m)
により基の各元の値を決めて、線形写像が定まる。このように二つの有限次元ベクトル空間の間の線形写像は、それぞれに基を定めることにより、行列と一対一に対応している。とくに、一つの有限次元ベクトル空間から自分自身への線形写像は正方行列に対応する。[高木亮一]

双対空間

ベクトル空間が与えられると、そこから出発して、新しいベクトル空間を構成する方法が多数ある。ここでは、双対(そうつい)なベクトル空間といわれるものをつくってみよう。Vの線形形式全体をV*と置く。V*の任意の二元、ψと、任意のスカラーkに対して、Vからの二つの実数値関数、+ψ,k
  (+ψ)(a)=(a)+ψ(a)
  (k)(a)=k((a))
と定める。ここに、aVの任意の元である。このとき、+ψ,kはともにV*の元になるからV*に加法と実数倍が定義されたわけである。これについて、法則(1)~(8)が成り立つから、V*はベクトル空間となる。このV*Vの双対空間という。Vの元を反変ベクトル、V*の元を共変ベクトルという。[高木亮一]

計量ベクトル空間

内積、つまり平面ベクトルでいう内積と同じ計算法則を満たす二つのベクトルから実数への関数が与えられているベクトル空間を、計量ベクトル空間という。計量ベクトル空間では、ベクトルの長さや、二つのベクトルの間の角度を測ることができる。計量ベクトル空間の基a1、……、anは、各aiの長さが1で、互いに直交するとき正規直交系であるという。このとき二つのベクトルx1a1+……+xnan,y1a1+……+ynanの内積は、x1y1+……+xnynと計算される。計量ベクトル空間にはかならず、正規直交系がとれる。[高木亮一]

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世界大百科事典内のベクトル空間の言及

【線形空間】より

…これらを一般化して,次のように線形空間を定義する。集合Vと体Kが与えられて,次の条件(9)~(10)を満たすとき,VK上の線形空間またはベクトル空間vector spaceであるといい,Vの元をベクトル,Kの元をスカラーと呼ぶ。(9)Vのかってな2元abについてその和abが定まり,Kの任意の元αとVの任意の元aについてVの元αa(aのスカラー倍)がきまる,(10)この和について,Vはアーベル群になり,スカラー倍について,上記(5)~(8)が成立する。…

【線形空間】より

…これらを一般化して,次のように線形空間を定義する。集合Vと体Kが与えられて,次の条件(9)~(10)を満たすとき,VK上の線形空間またはベクトル空間vector spaceであるといい,Vの元をベクトル,Kの元をスカラーと呼ぶ。(9)Vのかってな2元abについてその和abが定まり,Kの任意の元αとVの任意の元aについてVの元αa(aのスカラー倍)がきまる,(10)この和について,Vはアーベル群になり,スカラー倍について,上記(5)~(8)が成立する。…

※「ベクトル空間」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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