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ラグランジュ関数 ラグランジュかんすうLagrange function

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ラグランジュ関数
ラグランジュかんすう
Lagrange function

ラグランジアンともいう。ニュートン力学において保存力が働くとき,運動エネルギー T とポテンシャルエネルギー V との差 LTV で与えられる関数のこと。L一般座標 qi(i=1,2,…,f) と一般速度 との関数であって,これからラグランジュの運動方程式が導き出され,系の運動が決まる。したがって,ラグランジュ関数は力学系を規定する基本的な量である。連続体の力学,電磁場や一般の場に対しても L に相当する量を考えることができ,この量はラグランジュ関数密度と呼ばれる。

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法則の辞典の解説

ラグランジュ関数【Lagrangean】

運動エネルギー T とポテンシャルエネルギー V の差を L で表し,これをラグランジュ関数(ラグランジュアン)という.自由度の数が有限な系を取り扱うには便利な関数である.

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世界大百科事典 第2版の解説

ラグランジュかんすう【ラグランジュ関数 Lagrangian function】

一般に物理的な体系が時間または空間的に変化する法則は変分原理によって表現されることが多いが,その場合対象となる系の物理量を含む汎関数でその積分が変分汎関数となるものをラグランジュ関数と呼び,一般にLで表す(ここで物理量の汎関数とは,物理量自体時空変数の関数として表されるので関数の関数という意味で用いられる用語である)。以下,質点の力学の場合について具体的に説明しよう。物理量x(t)(x1(t),……,xn(t))に関する時間tの2階常微分方程式, d2x/dt2f(xt)  ……(1)として運動法則が表される場合,適当な関数L(xxt)が定められて変分汎関数,の停留条件(変分原理),を満たすx(t)のみが上の運動法則に従うとなっているならば,先の運動法則(1)は変分原理(2)で置き換えられたことになる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ラグランジュ関数
らぐらんじゅかんすう
Lagrange's function

座標とその時間微分の関数で、ある物理系の力学的特性を表し、その運動を規定する量。フランスの物理学者・数学者ラグランジュが導入した。この関数に基づく運動方程式をラグランジュ方程式といい、その内容はニュートンの運動方程式と同等である。ラグランジュ関数をLとすると、系の運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーUによりL=T-Uと定義される。Lと初期条件が与えられると系の全運動が記述されるので、これから出発する力学の形式をラグランジュ形式とよび、解析力学の基本的な体系となっている。
 ニュートン力学の場合のみならず、電磁場中での荷電粒子の運動や相対論の場合の運動方程式もラグランジュ形式に書くことができ、一般性の高い枠組みであると考えられる。自由度fの系の位置を一義的に定める一般化座標を(q1,q2,……,qf)とすると、Lはこの座標とその時間微分

および、より一般的には時間tによって表される。力学系の運動を与えるハミルトンの原理はLの時間積分に対する変分原理で、一般化座標で変分を行うことにより次のラグランジュ方程式を得る。

これは一般化座標に対する運動方程式であり、その形は座標変換をしても変わらない。[永田 忍]

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