翻訳|compact
数学用語。Sを閉区間とするとき,Sは次の各性質をもっているが,これらの性質はいずれもコンパクト性と呼ばれている。(1)開集合の族が全体としてSを覆うならば,Sはすでにそれらの開集合の中の有限個だけで覆われる(ハイネ=ボレルHeine-Borelの定理)。(2)Sの任意の無限部分集合は少なくとも一つの集積点をSの中にもつ(ボルツァーノ=ワイヤーシュトラスBolzano-Weierstrassの定理)。(3)Sの任意の点列からSの点に収束する部分列をとり出すことができる。(4)A1,A2,……,An,……はSの閉集合で,空でなく,順次前のものに含まれるとき,それら全体の共通部分は空でない。これらの性質はいずれも一般の位相空間Sで考えられるものであるが,位相空間Sに対し(1)が成り立つとき,Sをコンパクトな空間という。このとき(2)(3)(4)が成り立つ。距離空間Sでは(1)(2)(3)(4)は互いに同値な条件である。なお,ユークリッド空間の部分集合Sについては,コンパクトであることと有界閉集合であることとは同値な条件となる。
執筆者:中岡 稔
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