精選版 日本国語大辞典 「長さ」の意味・読み・例文・類語
なが‐さ【長さ】
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平面内で考えたとき、重ね合わすことのできる二つの線分を、長さが等しいという。いま、ある一つの線分OEを固定して、これを単位として他の線分の長さを表す正の実数値を対応させる。このためには、 の(1)のように、線分ABをOEの長さに等しく切っていき、余った部分は、OEをいくつかに等分したものを使って同様に測る。この操作を継続していく。これは、常識的な長さの測り方であるが、公理的構成の幾何学においては、この操作が可能であるように配慮して公理をつくっていかなければならない。ユークリッド幾何学では、ピタゴラスの定理(三平方の定理)が成立する。xy座標系の導入された平面においては、直交座標系により、A(a1,a2),B(b1,b2)の距離は
となる。これは、理論の構成の仕方により、他の定義から定理として導かれることもあり、またこれ自身を定義とすることもある。
[竹之内脩]
曲線L上に2点A、Bがあるとき、LのA、Bの間の長さは、次のように定める。L上、A、B間に数多くの点をとり、それらを順にP1,P2,……,Pn-1(A=P0,B=Pnとする)とする(極限値に収束するならば、この曲線は長さがあるといい、この極限値を曲線のA、B間の長さという。曲線がx=f(t),y=g(t)で与えられているとき、曲線が長さをもつための条件は、f(t),g(t)がともに有界変動の関数であることである。とくに、曲線が滑らかな曲線であるとき、すなわち、f(t),g(t)がともにC1級関数(導関数が存在して連続であるような関数)であるときは、曲線は長さを有し、それは、
に等しい。ただし、t1、t2はA、Bに対応するパラメーターの値である。もしも曲線がy=F(x)の形で与えられているときは、長さを与える式は、
である。
[竹之内脩]
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…U*U=UU*=1(単位行列)なる正方行列Uをユニタリ行列といい,ユニタリ行列で表されるCnの一次変換φをユニタリ変換という。Cnの二つのベクトル,に対して,
をxとyとの内積といい,また,
をxの長さという。ユニタリ変換φは内積および長さを不変にする。…
※「長さ」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
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