回転(数学・物理学)(読み)かいてん

日本大百科全書(ニッポニカ)「回転(数学・物理学)」の解説

回転(数学・物理学)
かいてん

数学用語と物理学用語の二義がある。

数学用語

平面の任意の点を定点Oの周りに定方向に定角度θだけ回すことを回転、または回転移動という(の(1))。この操作は、平面をそれ自身の上に写す写像と考えられる。O、θをそれぞれ回転の中心、回転角という。空間においては、定直線lを含む任意の平面をlを軸として定方向に定角度θだけ回転させるという操作は、空間をそれ自身の上に写す写像と考えられる。これを空間の回転移動といい、l、θをそれぞれ回転軸、回転角という(の(2))。とくに、180度の回転を、Oまたはlに関する対称移動という。空間の定点Oを通る直線を軸とする回転を全部ひっくるめてOの周りの回転という。平面と空間いずれにおいても、Oの周りの回転はすべて直交変換の一種であり、したがって合同変換の一種でもある。また、平面と空間いずれにおいても、Oの周りの回転が二つ与えられたとき、これらを続けて行った変換を最初の二つの回転のと定義する。このとき、平面のOの周りの回転の全体がつくると、空間のOの周りの回転の全体が生成する群をともに回転群という。

 平面や空間における回転という概念は次のようにして一般化できる。まず、nを自然数とし、実数の全体をRで表す。n個の実数の組(x1,…,xn)の全体をRnで表せば、Rnは普通の和とスカラー倍に関してR上のn次元ベクトル空間になる。A=(aij)をn次実正方行列とすると、Rnの元(x1,…,xn)を決めるたびにRnの元(y1,…,yn)が
  yiai1x1+…+ainxn,i=1,…,n
によってただ一つ定まる。これはAをもとにしてRnからRnへの写像が定まったことを意味する。そこで、この写像をfAで表そう。明らかにfA線形である。AtAAIを満たすとき、A直交行列といい、fAを直交変換という。ただし、tAAの転置行列を、Iは単位行列を表す。「直交変換はどんな図形もそれと同じ形の図形に写す」ことが知られている。Aを直交行列とすると、その行列式は±1であるが、とくに+1のとき、変換fARnの回転という(この意味の回転は中心とか軸という言葉を伴わないことに注意)。その全体は写像の合成を積として群をなすが、それをRnの回転群という。

 平面に直交座標系を一つ定めると、平面はR2と同じになる。2次行列

Aとおけば、Aは行列式1の直交行列で、直交変換fAは原点を中心とする角θの回転にほかならない。このとき、先に定義した平面の回転群とR2の回転群は一致することがわかる。同様に、空間に直交座標系を一つ定めると、空間はR3と同じになる。3次行列

Bとおけば、Bは行列式1の直交行列で、直交変換fBz軸を軸とする角θの回転にほかならない。このとき、先に定義した空間の回転群とR3の回転群は一致することが知られている。

[高木亮一]

物理学用語

回転運動をさす場合がある。

 物理学でしばしば用いる演算子のことを回転またはローテーションrotationという。たとえば、流れのようすを表すには流れの各点に流速を示すベクトルを書けばよい。すなわち、各成分vxvyvzが点の座標の関数である速度ベクトル関数v(x,y,z)を与えればよい。これをベクトル場という。流体の渦の状態は、このベクトル関数からローテーションという微分演算子rotあるいはcurlを作用させて求めることができる。すなわち

となる。磁場Hのローテーションは電場Eである。すなわちE=rotHとなる。

[田中 一]


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