楕円（読み）ダエン（英語表記）ellipse

デジタル大辞泉

だ‐えん〔‐ヱン〕【^×楕円／^×橢円】

二つの定点からの距離の和が一定な点の軌跡。二定点を楕円の焦点という。長円。
[類語]円・円形・同心円・真ん丸・半円・長円・丸っこい・丸まっちい・丸丸・丸い・丸まろい・円まろやか・円まどか・円つぶら・球形・球状・輪形・大円・真円・正円・真ん丸い・くりくり・たまご形・ループ・輪わ・輪わっか・リング・丸まる・丸める・丸・団団・団子状

出典　小学館

日本大百科全書(ニッポニカ)

楕円
だえん
ellipse

円錐曲線(えんすいきょくせん)の一つ。長円ともいう。2定点F、F′からの距離の和が一定である点の軌跡が楕円であり、F、F′をその焦点という（図A）。F、F′を通る直線をx軸とし、線分FF′の垂直二等分線をy軸とする直交座標系をとれば、楕円は

の形の方程式で表される。F、F′が一致すれば円となるので、円は楕円の一種である。Oを楕円の中心、中心を通る弦を直径という。とくに図AのAA′、BB′をそれぞれ長軸、短軸、これらをあわせて主軸という。一方の焦点から出た光は楕円で反射してすべて他方の焦点に集まる、という性質をもつ。x²＋y²＝a²なる円を楕円（＊）の補助円という（図B）。

　　x＝acos, y＝bsin
なる点P(x, y)は楕円上にあり、x′＝acos, y′＝asinなる点Q(x′, y′)は補助円上にあるから、楕円は補助円をy軸方向にb：aの比で収縮したものである。x軸とQOによってつくられる角をPの離心角という。一つの直径g₁に平行な弦の中点の軌跡はまた一つの直径g₂となる。このときg₂に平行な弦の中点の軌跡はg₁で、g₁とg₂とは互いに共役な直径といわれる（図C）。

　楕円はまた、定直線と定点からの距離の比が1より小さい一定値である点の軌跡、ともいうことができる。図Dにそのような定直線と定点の組l、Fとl′、F′とを書いてある。l、l′を準線という。一定値eは楕円の離心率といわれ、

で与えられる。λを径数（パラメーター）とする二次曲線群

は、λ＜βならば楕円を、β＜λ＜αならば双曲線を表し、すべて同じ焦点〔＝(α－β), 0〕をもつ。このとき、平面上の原点以外の任意の点Pを通って、この二次曲線群の一つの楕円と一つの双曲線があり、それらはPで互いに直交する（図E）。このように焦点を共有する楕円、双曲線は共焦点であるという。

　楕円は円錐曲線の一つとして紀元前200年以上前にアポロニウスらによって学問的に研究された。それが2000年近くもたってから「惑星は太陽を一焦点とする楕円軌道を描く」というケプラーの法則によって実用上の意味をもつことになったのは興味深い。

［立花俊一］

楕円〔図A〕

楕円〔図B〕

楕円〔図C〕

楕円〔図D〕

楕円〔図E〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

楕円 (だえん)
ellipse

平面上で，2定点F，F′からの距離の和が一定値であるような点によって描かれる図形を楕円，または長円といい，FとF′をその焦点という。1定値を2aとし，線分FF′の長さを2cとするとき，e＝c/a（＜1）を離心率という。線分FF′の中点を楕円の中心という。直線FF′と，楕円との交点をA，A′とし，中心Oにおいて直線FF′に立てた垂線と楕円との交点をB，B′とするとき，線分AA′は線分BB′より長い。線分AA′を長軸，線分BB′を短軸といい，これらを合わせて主軸という。直線AA′をx軸，直線BB′をy軸にとるとき，上の楕円の方程式は，

となる。このときx＝±a²/cで表される2直線d，d′を準線という（図1）。楕円上の点Pから焦点F（c，0）までの距離と，Pから準線x＝a²/cまでの距離の比は一定で離心率eに等しい。焦点F′（－c，0）と準線x＝－a²/cについても同様である。楕円の長軸を直径とする円を補助円という。補助円の周上の点Qから長軸に下ろした垂線の足をRとして，線分QRと楕円との交点をPとするとき，QR：PR＝a：bである。楕円は媒介変数θを用いて，x＝acosθ，y＝bsinθの形に表される。このθを楕円上の点P（x，y）の離心角という。楕円への二つの接線が直交するような点は一つの円を描き，その中心は楕円の中心と一致し，半径はである（図2）。この円を準円という。楕円の周の長さは楕円積分，

で与えられ，楕円で囲まれた図形の面積はπabである。線分MN上に点Pがあって，MとNが直交する直線上を動くとき，Pは楕円を描く（図3）。空間で直線mをこれと交わる直線lのまわりに回転したときに生ずる曲面を円錐面というが，いまlとmの交点を通らない平面πで，πのlに対する傾きがmのlに対する傾きより大きいものをとり，πで円錐面を切れば，切口は楕円となる。この意味で楕円は円錐曲線の一種である。この場合，πと1点で接し，円錐面と円で接する球面をとれば，πとの接点が楕円の焦点となり，円の平面とπとの交線が準線となる。なお，円を離心率が0である楕円とみなし，楕円の仲間に入れるのがふつうである。
→二次曲線
執筆者：中岡 稔

図1～図4

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

楕円
だえん
ellipse

長円ともいう。2定点 F ，F' (楕円の焦点という) からの距離の和が一定な点P の軌跡。 F ，F' を通る直線を x 軸，線分 FF' を垂直に2等分する直線を y 軸にもつ直交座標系O- xy において，この楕円の方程式は，距離の和を 2a ，線分 FF'＝2c とおけば ( a＞c ) ，x²/a²＋y²/(a²－c²)＝1 となり，a＞c であるから，a²－c²＝b² ( a＞b ) とおけば，x²/a²＋y²/b²＝1 で与えられる。これを楕円の標準方程式という。円は F ，F' が一致した場合の楕円である。焦点 F ，F' の中点を楕円の中心という。標準方程式で表わされる楕円と x 軸との交点 A ，A' がつくる線分 AA' を長軸，y 軸との交点 B ，B' がつくる線分 BB' を短軸という。また，c/a＝e＜1 であり，この e を離心率という。焦点の座標は，F'(－ae，0) ，F(ae，0) である。また方程式 x＝a/e ，x＝－a/e で与えられる2直線を焦点 F ，F' に対する準線という。面積は πab である。媒介変数による方程式は x＝a cos θ ，y＝b sin θ で表わされる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

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楕円【だえん】

長円とも。平面上で２定点（焦点）F，F′からの距離の和が一定な点の軌跡。F，F′を通る直線をx軸，FF′の垂直二等分線をy軸とする直交座標軸に関し方程式（x²/a²）＋（y²/b²）＝１で表される。x軸，y軸が楕円によって切りとられた部分を軸といい，長さの長い方を長軸，短い方を短軸という。面積πab，離心率（式１）は１より小さく，準線はx＝±a/e。円錐曲線の一つ。２焦点が重なった特別な場合が円。→二次曲線／楕円関数／楕円積分／楕円面
→関連項目長円

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